Kezdőlap


Feladat:	Gy.2024	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Füzet:	1982/október, 69. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Indirekt bizonyítási mód, Gyakorlat, Polinomok
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1982/január: Gy.2024

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Tegyük föl, hogy mégis létezik olyan $f (x)$ polinom, amelyre mind a három szám kisebb 1-nél. Ekkor kettejük felhasználásával

\begin{matrix} | f (0) - 1 = | b - 1 | < 1, & azaz - 1 < b - 1 < 1 \\ | f (2) - 9 | = | 2 a + b - 9 | < 1, & azaz - 1 < 2 a + b - 9 < 1 \end{matrix}

Ezeket az egyenlőtlenséget összeadva, majd 2-vel osztva a

\begin{matrix} - 1 < a + b - 5 < 1 \end{matrix}

egyenlőtlenséget kapjuk, ami rendezve a

\begin{matrix} 4 < a + b < 6 \end{matrix}

(1)

alakot ölti. Feltettük azonban még azt is, hogy

\begin{matrix} | f (1) - 3 = | a + b - 3 | < 1, azaz - 1 < a + b - 3 < 1. \end{matrix}

Rendezve

\begin{matrix} 2 < a + b < 4, \end{matrix}

ami a (1) egyenlőtlenséggel összevetve a

\begin{matrix} 4 < a + b < 4 \end{matrix}

egyenlőtlenségre vezet, ez pedig lehetetlen. Ellentmondásra jutottunk feltevésünkkel, és ezzel igazoltuk az állítást.