A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Legyen a keresett háromszög, és jelöljük -nek az egyes csúcsoktól mért távolságát a megfelelő kisbetűvel. Az háromszög a körül szabadon forgatható, és tetszőleges, a -n átmenő tengelyre tükrözhető, hiszen ezek a transzformációk az háromszög szabályosságát és a csúcsok -től mért távolságait változatlanul hagyják. Válasszuk az háromszög körüljárását pozitívnak és forgassuk el -kal a háromszöget és benne a pontot körül. Ez a forgatás -t -be viszi, és új helyzetét jelöljük -vel, illetve -val. A forgatás miatt , és az háromszög szabályos. Tehát a háromszög oldalai rendre egyenlőek az adott szakaszokkal:
, , . Mivel olyan háromszöget keresünk, amelyikben belső pont, az , , oldalakkal megszerkesztett háromszög csak akkor ad megoldást, ha a szögei kisebbek -nál, hiszen a szög benne van a -os szögben, a , szögeket pedig úgy kapjuk a -nál kisebb , szögekből, hogy elvesszük belöle a -os , szögeket. A szerkesztés menete tehát a következő. Szabadon megválaszthatjuk a -től távolságra levő pontot és a szakasz valamelyik oldalán megszerkesztjük a középpontú sugarú és középpontú, sugarú körök metszéspontját. A keresett háromszög csak akkor létezik, ha a háromszög létrejön, és szögei -nál kisebbek. Ha ez így van, a szakasz -vel átellenes oldalára rajzolt szabályos háromszög harmadik csúcsa a keresett háromszög következő csúcsa, és -t az az körüli -os forgatás adja -ből, amelyik -t -be viszi. A forgatás miatt valóban szabályos háromszög. Mivel a háromszög szögei -nál kisebbek, a szögtartományban van, az és szakaszok metszik egymást. Így a -t -be vivő forgatás -t túlforgatja az irányon, benne lesz a szögtartományban. Az , szögek kisebbek -nál, és az összegük
miatt nagyobb -nál, hiszen a szög kisebb -nál. Tehát a szög kisebb -nál, valóban belső pontja az háromszögnek. A csúcsoktól mért távolsága pedig rendre egyenlő, az adott szakaszokkal, hiszen , a szerkesztés miatt. Megjegyzések. 1. A cosinus tétel alapján látható, hogy ha az adott , , szakaszok közül mondjuk a a legnagyobb, akkor a szerkeszthetőség feltétele 2. Megoldhatjuk úgy is a feladatot, hogy felveszünk egy a keresett háromszöghöz hasonló tetszőleges szabályos háromszöget, és benne a -hez hasonló helyzetű pontot keressük az | | arányoknak megfelelő Apolloniusz‐körök metszéseként. Aztán alkalmas hasonlósággal az egészet átépítjük a pont köré. 3. Ha nem kötjük ki azt, hogy az háromszög belső pontja legyen, az eredeti szerkesztés során helyett a -ra vonatkozó tükörképét is vehetjük. Ebben az esetben csak az a szerkeszthetőség feltétele, hogy az adott , , szakaszokkal háromszög legyen szerkeszthető, és általában két, különböző méretű háromszöget kapunk.
|