A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Ha , és mindegyike 0, akkor az egyenletnek minden valós szám gyöke, így az állítás ekkor teljesül. Föltehető tehát, hogy a három szám közül legalább kettő különbözik 0-tól. (Pontosan két 0 a feltétel szerint nem lehet.) Ha , akkor a feltétel szerint most , így egyenletünk Ennek az gyöke, tehát az állítás az esetben is teljesül. Ha , akkor az egyenlet másodfokú. A feltétel szerint , tehát az egyenlet diszkriminánsa | | ami pozitív, hisz és egyszerre nem 0. Egyenletünknek tehát két különböző valós gyöke van. Ezeket -gyel és -vel jelölve a gyökök és együtthatók ismert összefüggése szerint
Most , így a feltétel mindkét oldalát -val osztva | | adódik. Innen rendezés után kapjuk, hogy Másrészt, ha , akkor a feladat állítása nyilván teljesül. Ha , akkor . Látható, hogy pontosan akkor nem esik az adott intervallumba, azaz pontosan akkor teljesül, ha . Ez az -re azt jelenti, hogy | | ami pontosan akkor teljesül, ha , azaz . Azt kaptuk tehát, hogy ha nem esik 0 és 1 közé, akkor az és között van, tehát az állítás most is igaz. II. megoldás. Jelöljük az polinomot -szel. Ekkor | | Könnyen ellenőrizhető, hogy . A feltétel szerint így . Ez azt jelenti, hogy vagy , és (1) mindegyike 0, vagy pedig e három szám között van pozitív is és negatív is. Az első esetben , tehát -nek gyöke az . A második esetben a helyettesítési értékek között vannak ellenkező előjelűek, van tehát olyan , és , melyekre , úgy hogy és ellenkező előjelűek. Ismeretes, hogy első- vagy másodfokú polinom esetén ebből következik, hogy van olyan , melyre és . Ezzel a feladat állítását igazoltuk.
Megjegyzés. Az függvény 0 és 1 közötti integrálja a .
A feltevés szerint ez 0-val egyenlő. Ebből is látható, hogy van a függvénynek 0 és 1 közti gyöke. |