Kezdőlap


Feladat:	Gy.2016	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Gaál Zsolt , Mályusz Levente
Füzet:	1982/szeptember, 16 - 18. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenlőtlenségek, Gyakorlat, Egészrész, törtrész függvények, Esetvizsgálat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1981/december: Gy.2016

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. Definíció szerint $[x]$ jelenti azt a legnagyobb egész számot, amely $x$ -nél nem nagyobb.
Az $x$ törtrésze a szokásos jelölés szerint

\begin{matrix} {x} = x - [x] . \end{matrix}

Ily módon az egyenlőtlenség a következő alakra hozható:

\begin{matrix} [5 [x] + 5 {x}] ≧ [[x] + {x}] + \frac{[2 [x] + 2 {x}]}{2} + ... + \frac{[5 [x] + 5 {x}]}{5} . \end{matrix}

Felhasználva, hogy egész a esetén

[n + t] = n + [t]

, tovább alakíthatunk:

\begin{matrix} 5 [x] + [5 {x}] & ≧ [x] + [{x}] + \frac{2 [x]}{2} + \frac{2 [{x}]}{2} + ... + \frac{5 [x]}{5} + \frac{[5 {x}]}{5}, \\ [5 {x}] & ≧ [{x}] + \frac{[2 {x}]}{2} + \frac{[3 {x}]}{3} + \frac{[4 {x}]}{4} + \frac{[5 {x}]}{5} . \end{matrix}

Most négy esetet vizsgálunk:

\begin{matrix} 1. Ha & 0 ≦ {x} < \frac{1}{5}, akkor [{x}] + ... + \frac{[5 {x}]}{5} = 0 = [{5 x}]; \\ 2. Ha & \frac{1}{5} ≦ {x} < \frac{2}{5}, akkor [{x}] + ... + \frac{[5 {x}]}{5} ≦ \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} = \frac{47}{60} < [5 {x}] = 1; \\ 3. Ha & \frac{2}{5} ≦ {x} < \frac{3}{5}, akkor [{x}] + ... + \frac{[5 {x}]}{5} ≦ \\ ≦ & \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{2}{4} + \frac{2}{5} = 1 \frac{11}{15} < [5 {x}] = 2; \\ 4. Ha & \frac{3}{5} ≦ {x} < 1, akkor [{x}] + ... + \frac{[5 {x}]}{5} ≦ \\ ≦ & \frac{1}{2} + \frac{2}{3} + \frac{3}{4} + \frac{4}{5} = 2 \frac{43}{60} < 3 ≦ [5 {x}]; \end{matrix}

azt kapjuk tehát, hogy az egyenlőtlenségnek minden valós

x

megoldása.

II. megoldás. Könnyen belátható, hogy minden

(a, b)

valós számpár esetén

[a] + [b] ≦ [a + b]

Ezt többször alkalmazva kapjuk a következőt:

\begin{matrix} 120 [5 x] & = 24 [5 x] + 30 [5 x] + 20 [5 x] + 20 [5 x] + 15 [5 x] + + 10 [5 x] + [5 x] ≧ \\ ≧ 24 [5 x] + 30 ([4 x] + [x]) + 20 ([3 x] + [2 x]) + 20 ([3 x] + [x] + [x]) + 15 ([2 x] + \\ + [2 x] + [x]) + 10 ([2 x] + [x] + [x] + [x]) + ([x] + [x] + [x] + [x] + [x]) = \\ = 120 [x] + 60 [2 x] + 40 [3 x] + 30 [4 x] + 24 [5 x], \end{matrix}

Azaz minden valós

x

-re

\begin{matrix} 120 [5 x] \geq 120 [x] + 60 [2 x] + 40 [3 x] + 30 [4 x] + 24 [5 x] . \end{matrix}

Ezt

120

-szal osztva kapjuk a feladat egyenlőtlenségét, ami azt jelenti, hogy minden valós szám megoldása az egyenlőtlenségnek.

Gaál Zsolt és Mályusz Levente (Debrecen, Fazekas M. Gimn. II. o. tanulók)
ötlete alapján