Kezdőlap


Feladat:	Gy.2013	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1982/április, 166 - 167. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szabályos sokszög alapú gúlák, Terület, felszín, Térfogat, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1981/november: Gy.2013

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a gúla alapélének hosszát $a$ -val, magasságát $M$ -mel, az $A B E$ háromszög $a$ oldalához tartozó magasságvonalának hosszát $m$ -mel. Tudjuk, hogy a gúla térfogata

\begin{matrix} V = \frac{a^{2} M}{3} . \end{matrix}

(1)

A B E

háromszög területe

T_{1} = \frac{a m}{2}

. Az

A C E

háromszög nyilván egyenlő szárú, és alapjának hossza az alapnégyzet átlója, azaz

a \sqrt[]{2}

. Mivel a gúla szabályos, magassága az alapot az átlók metszéspontjában,

O

-ban metszi, ezért ez egyben az

A C E

háromszögnek is magassága. Az

A C E

háromszög területe így

T_{2} = \frac{a M}{\sqrt[]{2}}

Feladatunk a gúla térfogatát úgy felírni, hogy abban csak az ismert

T_{1}

és

T_{2}

értékek szerepeljenek. Ezért alakítsuk át először az (1) kifejezést:

\begin{matrix} V = \frac{a^{2} M}{3} = \frac{a M}{\sqrt[]{2}} \cdot \frac{\sqrt[]{2}}{3} a = \frac{\sqrt[]{2}}{3} \cdot T_{2} \cdot a . \end{matrix}

(2)

Már csak

a

-t kell kifejeznünk

T_{1}

és

T_{2}

-vel. Ehhez egyrészt

\begin{matrix} T_{1} T_{2} = \frac{a^{2} m M}{2 \sqrt[]{2}} ebből (3) m M = \frac{2 \sqrt[]{2} T_{1} T_{2}}{a^{2}} \end{matrix}

másrészt

\begin{matrix} \frac{T_{1}}{T_{2}} = \frac{m}{\sqrt[]{2} M}, innen (4) \frac{m}{M} = \sqrt[]{2} \frac{T_{1}}{T_{2}} . \end{matrix}

(3) és (4) szorzatából illetve hányadosából

\begin{matrix} m^{2} = \frac{4 T_{1}^{2}}{a^{2}}, illetőleg M^{2} = \frac{2 T_{2}^{2}}{a^{2}} \end{matrix}

F E O

derékszögű háromszögre felírhatjuk Pitagorasz tételét

\begin{matrix} \frac{a^{2}}{4} = m^{2} - M^{2} = \frac{4 T_{1}^{2}}{a^{2}} - \frac{2 T_{2}^{2}}{a^{2}} = \frac{1}{a^{2}} (4 T_{1}^{2} - 2 T_{2}^{2}) \end{matrix}

ahonnan átrendezéssel kapjuk, hogy

\begin{matrix} a = \sqrt[4]{16 T_{1}^{2} - 8 T_{2}^{2}} \end{matrix}

ezt behelyettesítve (2)-be

\begin{matrix} V = \frac{\sqrt[]{2}}{3} \cdot T_{2} \sqrt[4]{16 T_{1}^{2} - 8 T_{2}^{2}} . \end{matrix}

Megjegyzések. 1. A beküldők egy része nem értette meg a feladat követelményét, hogy a térfogatot úgy kell felírni, hogy abban csak a két háromszög területe szerepeljen, mint ismert adat. Ezért számos olyan "végképlettel'' találkozhattunk, amelyben más adatok is szerepeltek, pl. a gúla magassága vagy alapéle.
2. Szabályos

n

oldalú gúlán olyan gúlát értünk, amelynek alaplapja szabályos

n

szög. Az ilyen gúla természetesen mindig egyenes gúla.