Feladat: Gy.2012 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1982/november, 132 - 133. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Háromszögek nevezetes tételei, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1981/november: Gy.2012

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen ABC tetszőleges háromszög, és legyen Q az AB szakasz tetszőleges belső pontja. Emeljünk Q-ban AB-re merőlegest, és jelöljük ennek az AB egyenes C-vel ellentétes oldalára eső darabját q-val. Ha P a q félegyenes tetszőleges, Q-tól különböző pontja, és R az AB egyenes C-t tartalmazó oldalán vagy az AB-n levő, Q-tól különböző pont, akkor a QR szakasz vagy PQ meghosszabbításán van, vagy PQ-val legalább 90∘-os szöget zár be. Mindkét esetben igaz, hogy PQ<PR, vagyis P-hez az AB egyenes által határolt, P-t nem tartalmazó félsíkon (amelyhez most az AB egyenest is hozzávesszük) Q van a legközelebb. Igaz ez az ABC belsejében és határán levő pontokra is, hiszen azok a mondott félsíkban vannak. Azt mondjuk ezért, hogy P-nek az ABC háromszögtől mért távolsága a PQ szakasz hosszával egyenlő.


Mondjuk azt továbbá a q félegyenes pontjaira, hogy Q felett vannak. Ha Q bejárja az AB szakaszt, a felette levő pontok egy sávot járnak be, amelyet az AB-re A-ban, illetve B-ben emelt merőlegesek határolnak. Jelöljük ezt a sávot SAB-vel, az SAB-ben levő pontokhoz tehát ABC pontjai közül az AB szakaszon levő vetületük van legközelebb (a sávot határoló egyeneseket nem számítjuk a sávhoz). Jelöljük SBC-vel, illetve SCA-val a BC és CA szakaszokból hasonlóan származtatott sávokat. Ezek pontjaihoz tehát ABC pontjai közül a BC, illetve CA szakaszok valamely belső pontja van legközelebb. Mivel ez a három tulajdonság páronként kizárja egymást, SAB SBC SCA páronként diszjunktak. Következik ez abból is, hogy a sávokat határoló egyenesek közti 90∘-os szögek közül még kettő együtt sem tudja lefedni a háromszög 180∘-nál nagyobb kiegészítő szögeit. Jelöljük ezeknek a szögtartományoknak a le nem fedett részeit rendre TA-val, TB-vel és TC-vel, például TB a B-ben AB-re, illetve BC-re emelt merőlegesek közti szögtartomány. (Ezekhez hozzászámítjuk a határegyeneseiket, azok közös pontja nélkül.)
Ha U a TB tartomány tetszőleges pontja, és V az ABC háromszög tetszőleges belső vagy határon levő pontja (de V nem azonos B-vel), akkor a BU, BV szakaszok közti szög legalább 90∘, hiszen vagy az ABU vagy a CBU szöget tartalmazza. Emiatt BU<VU, tehát TB pontjaihoz ABC pontjai közül B van legközelebb. Hasonlóan látható, hogy ABC pontjai közül TA, TC pontjaihoz A, illetve C van legközelebb.
Mivel a kapott hat tartomány lefedi a sík ABC háromszöghöz nem tartozó részét, az elmondottak alapján tetszőleges pontjukhoz meg tudjuk határozni az ABC pontjai közül hozzá legközelebb levő pontot. Legyen DEF tetszőleges háromszög, amelynek nincs ABC-vel közös pontja, és határozzuk meg egyrészt az ABC háromszög pontjai közül a D, E, F pontokhoz legközelebb levő pontokat, másrészt a DEF háromszög pontjai közül az A, B, C pontokhoz legközelebb levő pontokat. Jelöljük ezeket rendre D0-lal, E0-lal, F0-lal, illetve A0-lal, B0-lal, C0-lal. Válasszuk ki az AA0, BB0, CC0 DD0, EE0, FF0 szakaszok közül a legkisebbet, vagy azok egyikét. Legyen ez, mondjuk, DD0. Két esetet különböztetünk meg aszerint, hogy D0 csúcsa-e az ABC háromszögnek vagy sem.

Ha D0 nem csúcs, hanem, mondjuk, az AB szakasz belső pontja, akkor AB a keresett egyenes. Ha ugyanis E vagy F az AB egyenes D-t nem tartalmazó felén vagy magán az AB egyenesen volna, a DE, illetve DF szakasz az AB egyenest csak az AB szakaszon kívül metszhetné. Ha ez a D1 metszéspont, mondjuk, az AB egyenesnek A-n túli oldalán van, akkor A-nak a mondott szakasztól mért távolsága kisebb DD0-nál. Az ADD1 háromszög ugyanis benne van a D0DD1 háromszögben, tehát kisebb a területe, és így kisebb a DD1 közös alaphoz tartozó magassága is. Vagyis ha D0-nak a DD1 egyenesen levő vetülete D2, akkor AA0<D0D2, és D0D2 nyilván kisebb D0D-nél.
Ha D0 csúcs, legyen, mondjuk, a B. Ekkor B-hez csak D lehet legközelebb, mivel BB0≧BD. Emeljünk B-ben és D-ben merőlegest BD-re, ezek biztosan elválasztják az ABC és DEF háromszögeket.
Így ha a BD szakaszt B és D körül pozitív és negatív irányban addig forgatjuk, amíg bele nem ütközik az ABC, illetve DEF háromszögekbe, mindig legalább 90∘-ot kell forgatnunk. Vegyük a négy forgatás legkisebbikét (vagy azok egyikét). Tartozzon ez, mondjuk, a BA félegyeneshez. Ekkor, ha ugyanezt a forgatást D körül megismételjük, közben még nem érjük el a DEF háromszöget, tehát az AB egyenes elválasztja a két háromszög belső pontjait.