Kezdőlap


Feladat:	Gy.2009	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Alexy N. , Beleznay Á. , Boda P. , Bujdosó L. , Böröczky L. , Csaba Gy. , Csákány B. , Csörgő Emese , Francsovits A. , Gergely Zs. , Giba P. , Hegedűs P. , Hermann S. , Hetyei Judit , Horváth A. , Hraskó A. , Ilosvay F. , Kerner Anna , Komorowicz J. , Koszó L. , Kovács 829 T. , Kruppa A. , Lázár G. , Lédeczi Á. , Martinusz L. , Mátyási Piroska , Mészáros R. , Pap 127 T. , Princz Katalin , Raisz I. , Sógorka Zs. , Somogyi 196 A. , Stipsicz A. , Szabó 123 A. , Szabó 741 Z. , Szabó A. , Szigeti A. , Szögi L. , Takács Z. , Tóth 999 T. , Tuza P. , Varga K. , Várnai P.
Füzet:	1982/április, 164 - 165. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Racionális számok és tulajdonságaik, Algebrai átalakítások, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1981/november: Gy.2009

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük $a$ -val azt a számot, amit négyzetre akarunk emelni, és $b$ -vel azt, amivel $a$ -t meg akarjuk szorozni. (Feltesszük, hogy $a \neq 0$ , $b \neq 0$ .) Legyen továbbá $c$ egy általunk előre megválasztott alkalmas szám, akkor ki tudjuk számolni az

\begin{matrix} A = \frac{1}{a} - \frac{1}{a + c} = \frac{c}{a^{2} + a c} \end{matrix}

különbséget, és ennek

\begin{matrix} \frac{1}{A} = \frac{a^{2}}{c} + a \end{matrix}

reciprokát. Mivel kivonni és összeadni tud a gép, ebből

a

-t kivonva

a^{2} / c

-t kapjuk, és ha

c

-t tetszőleges pozitív egésznek választjuk, akkor

a^{2} / c

-ből

c

-szeri összeadással megkaphatjuk

a^{2}

értékét. Csak arra kell ügyelnünk, hogy

a + c

értéke ne legyen

0

, így például

a \neq - 1

mellett

c

-t választhatjuk

1

-nek, ha pedig az

a = - 1

szám négyzetét is a géppel szeretnénk kiszámoltatni, akkor

c

-t válasszuk

2

-nek.
Mielőtt az

a b

szorzat kiszámolását elkezdenénk, megjegyezzük, hogy pozitív egész számmal nemcsak szorozni lehet a gépünkön, hanem osztani is megtaníthatjuk a gépet. Például

b / 2

1 / b + 1 / b

összeg reciprokaként állítható elő. Ezek után az

a b

szorzatot például az

\begin{matrix} a b = {(a + \frac{b}{2})}^{2} - a^{2} - \frac{b^{2}}{4} \end{matrix}

összefüggés alapján számítható ki (ahol

b^{2} / 4

értékét a

c = 4

paraméterhez tartozó négyzetre emelés szolgáltathatja). De használhatjuk a

\begin{matrix} 2 a b = {(a + b)}^{2} - a^{2} - b^{2}, 4 a b = {(a + b)}^{2} - {(a - b)}^{2} \end{matrix}

összefüggéseket is, ezeknél még az eljárás végén kell

2

-vel illetve

4

-gyel osztani.

Megjegyzés. Némi fáradsággal azt is kiszámolhatjuk, hogy

0^{2} = 0

, és ha egy szorzat valamelyik tényezője

0

, akkor az eredmény

0

. Kezdetben talán furcsán hangzik, hogy trivialitásokra tanítjuk a gépet, de ha ezeket a műveleteket valamilyen hosszú program során használjuk, és a mondott műveleteket más műveletek részeredményein kell végrehajtanunk, bizony gondolni kell a triviális kivételes esetekre is. Persze nehéz elképzelni egy programozható gépet, amelyik nem tud szorozni, de azért a gyakorlatban sok minden előfordulhat. Arról sem beszéltünk eddig, hol tároljuk a megoldásban szereplő eljárások végeredményeit. Ha vannak a gépnek memóriái, akkor ott, különben azokat számolás közben nekünk kell feljegyeznünk. Arra nem kell gondolni ezzel kapcsolatban, hogy mi nem tudjuk a részeredményeket kellő pontossággal feljegyezni, hiszen a számok gépi ábrázolása is csak korlátozott pontosságú.