Kezdőlap


Feladat:	Gy.2005	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1982/április, 163 - 164. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Tengelyes tükrözés, Síkgeometriai szerkesztések, Gyakorlat, Téglalapok
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1981/október: Gy.2005

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen $M$ az $A B$ oldal pontja. Vegyük fel a $B C$ oldalon a $P$ , $C D$ -n a $Q$ , $D A$ -n az $R$ pontokat tetszőlegesen. Próbáljuk meg az $M P Q R$ négyszög oldalait "kiegyenesíteni'' úgy, hogy közben a pontok egymástól való távolsága ne változzék.

Ezért először tükrözzük az

A B C D

téglalapot a

B C

oldalára. Mivel

P

pont a tengelyen van, tükörképe önmaga. Jelöljük

Q

új helyzetét

Q'

-vel. A tükrözés miatt

P Q = P Q'

. Ezután tükrözzük a második téglalapot a

C Q'

tengelyre. Ekkor

Q'

esik egybe a tükörképével és

R

-nek a két egymás utáni tükrözés után kapott képére,

R'

-re

Q' R' = Q R

. Végül a harmadik téglalapot az

R'

pontot tartalmazó téglalapoldalra tükrözve

M

-nek a három egymás után elvégzett tükrözés után kapott

M'

képére

R' M' = R M

. A kapott

M P Q' R' M'

töröttvonal hossza nyilván megegyezik az

M P + P Q + Q R + R M

út hosszával. Ez pedig akkor lesz a legrövidebb, ha

M

és

M'

pontokat egyenes vonallal kötjük össze. Az összekötő egyenes a megfelelő oldalakból kimetszi az

(R)

(Q)

(P)

pontokat, amelyeket az eredeti téglalap oldalaira visszatükrözve megkapjuk a feladat megoldását. Az

M M'

egyenesnek mindig lesz metszéspontja a téglalap oldalaival, hiszen

P

Q

R

M

az oldalak belső pontjai, esetleg valamelyik csúccsal egybeesnek.

Megjegyzés. Az egyes tükrözések után kapott pontokat a megfelelő indexszel jelölve láthatjuk, hogy az

M

pont helyzetétől függetlenül a minimális négyszög oldalainak összege mindig ugyanakkora. A tükrözés miatt ugyanis

A M = M_{1} A_{1} = M_{2} A_{2} = A_{2} M_{3}

és ezért

M M_{3} ∥ A C

. Amiből következik, hogy az

M P Q R

négyszög oldalai a téglalapnak vagy az

A C

vagy a

B D

átlójával párhuzamosak, azaz

M P Q R

paralelogramma. Ha

M

A

csúcsba esik, akkor a legrövidebb út a téglalap átlójának kétszerese, s ez mindig a legrövidebb út hossza.