Kezdőlap


Feladat:	Gy.2002	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Füzet:	1982/március, 121. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Terület, felszín, Paralelogrammák, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1981/október: Gy.2002

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük az $A B C D$ konvex négyszög átlóinak metszéspontját $M$ -mel, az $A D C$ és $A B C$ háromszögek közös $A C$ oldalára állított magasságvonalak talppontját rendre $T_{1}$ -gyel és $T_{2}$ -vel (1. ábra).

Feltétel szerint az

A B C D

négyszöget az

A C

átló két egyenlő területű részre osztja. Ezért a

D T_{1}

szakasz hossza megegyezik a

B T_{2}

szakasz hosszával ‐ ugyanis azonos alapú és területű háromszögek magasságai egyenlők. A

D T_{1} M

háromszög egybevágó a

B T_{2} M

háromszöggel, hiszen

M

-nél levő szögeik csúcsszögek, mindkettő derékszögű és az előzők szerint

D T_{1} = B T_{2}

. Az egybevágóságból következik, hogy

D M = M B

, vagyis az

A C

átló felezi a

D B

átlót.
Hasonlóan bizonyítható, hogy a

D B

átló is felezi az

A C

átlót. Tehát a négyszög átlói felezik egymást, és ezért a négyszög csak paralelogramma lehet. A paralelogrammára pedig tényleg igaz, hogy mindkét átlója két-két egyenlő területű részekre osztja. (F. G.)