Feladat: Gy.2001 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1982/március, 121. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Skatulyaelv, Számtani sorozat, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1981/október: Gy.2001

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen az első 100 pozitív egész valamilyen sorrendben a1, a2, ..., a100. Ezek összege

a1+a2+...+a100=(1+100)+(2+99)+...+(50+51)=50⋅101=5050,
ezért ha az a1+a2+...+a100 összeg tagjait ebben a sorrendben tíz tízes csoportra osztjuk, akkor van olyan csoport, amelyben a számok összege legalább 5050:10=505.
Ez azt jelenti, hogy bármilyen sorrendben írjuk is le az első 100 pozitív egészet, mindig lesz tíz, a sorban egymás után következő szám, melyek összege legalább 505. A keresett szám tehát legalább 505.
Ha van olyan sorrendje az első száz pozitív egésznek, amelyben bármely tíz, a sorban szomszédos szám összege legfeljebb 505, akkor készen vagyunk; ekkor a keresett szám éppen 505, ugyanis ennél nagyobb A számot választva az adott sorrendre nem teljesül a feltétel. Az alábbi sorrend éppen ilyen:
100,1,99,2,...,51,50.
Itt a páratlan helyeken álló számok egyesével csökkennek 100-tól 51-ig, a páros helyeken állók pedig egyesével növekszenek 1-től 50-ig. Bármely két szomszédos szám összege vagy 101, vagy 100, így bármely tíz szomszédos szám összege 505 vagy 500, attól függően, hogy a tíz szám közül az első páratlan, vagy páros helyen áll-e a sorban.
A keresett szám tehát 505.