Kezdőlap


Feladat:	Gy.1997	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Csákány Béla
Füzet:	1982/február, 75 - 76. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Egyenes, Terület, felszín, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1981/szeptember: Gy.1997

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen $P$ egy, a feltételt kielégítő pont. Mivel $A B P$ és $B C P$ háromszögek $B P$ oldala közös, területük arányát a $B P$ oldalhoz tartozó magasságaik aránya határozza meg. Feltétel szerint $A B P$ háromszög területe kétszerese a $B C P$ háromszög területének, ezért az $A$ pont a $B P$ egyenestől kétszer olyan messzire van, mint $C$ . Keressük tehát azt az egyenest (vagy egyeneseket), amely átmegy a $B$ ponton és $A$ -tól kétszer olyan messzire van, mint $C$ -től.

A keresett egyenes nem lehet párhuzamos az

A C

egyenessel, mert akkor

A

-tól és

C

-től ugyanakkora távolságra lenne, tehát metszi

A C

-t. Mégpedig vagy úgy, hogy az

A

és

C

pontokat szétválasztja; vagy úgy, hogy nem választja szét. Azaz két olyan egyenes is van,

e_{1}

, és

e_{2}

, amelyiknek minden pontja (

B

-t kivéve) eleget tesz a követelményeknek. Az

e_{1}

-t úgy kapjuk meg, hogy az

A C

távolságot

A

-tól számítva

2 : 1

arányban osztjuk és az így kapott

M_{1}

osztópontot összekötjük

B

-vel.

E

és

F

A

-ból ill.

C

-ből induló magasságvonal talppontja. Az

A M_{1} E

és

C M_{1} P

háromszögek hasonlók, és ezért

A E : F C = 2 : 1

is teljesül. Az

e_{2}

egyenes pedig

B

-n és az

A C

egyenes azon pontján megy át, amelyre

A M_{2} : C M_{2} = 2 : 1

. Ez nyilván

A

-nak

C

-re vonatkozó tükörképe. Mint láttuk, mindkét egyenesnek minden

B

-től különböző pontjára

P A B