A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Legyen egy, a feltételt kielégítő pont. Mivel és háromszögek oldala közös, területük arányát a oldalhoz tartozó magasságaik aránya határozza meg. Feltétel szerint háromszög területe kétszerese a háromszög területének, ezért az pont a egyenestől kétszer olyan messzire van, mint . Keressük tehát azt az egyenest (vagy egyeneseket), amely átmegy a ponton és -tól kétszer olyan messzire van, mint -től.
A keresett egyenes nem lehet párhuzamos az egyenessel, mert akkor -tól és -től ugyanakkora távolságra lenne, tehát metszi -t. Mégpedig vagy úgy, hogy az és pontokat szétválasztja; vagy úgy, hogy nem választja szét. Azaz két olyan egyenes is van, , és , amelyiknek minden pontja (-t kivéve) eleget tesz a követelményeknek. Az -t úgy kapjuk meg, hogy az távolságot -tól számítva arányban osztjuk és az így kapott osztópontot összekötjük -vel. és az -ból ill. -ből induló magasságvonal talppontja. Az és háromszögek hasonlók, és ezért is teljesül. Az egyenes pedig -n és az egyenes azon pontján megy át, amelyre . Ez nyilván -nak -re vonatkozó tükörképe. Mint láttuk, mindkét egyenesnek minden -től különböző pontjára Ha , akkor nem jön létre háromszög. A két egyenes pontjain kívül nincs a síknak más pontja, amely eleget tesz a követelménynek. Tegyük fel ugyanis, hogy lenne egy pont, amelyik nem illeszkedik sem -re, sem -re és Húzzuk meg a egyenest, ez biztosan metszi az -t és az metszéspontjára , és így vagy -gyel vagy -vel esik egybe ‐, mert az egyenesen pontosan két olyan pont van, melyeknek -tól és -től vett osztásaránya egy adott érték, azaz vagy -gyel vagy -vel esik egybe.
Csákány Béla (Szeged, Ságvári E. Gyak. Gimn., I. o. t.)
|