Kezdőlap


Feladat:	Gy.1994	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1982/február, 72 - 73. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Terület, felszín, Négyszögek geometriája, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1981/szeptember: Gy.1994

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mivel az $A B C D$ négyszög konvex, tartalmazza az átlóinak $O$ metszéspontját. Így a négyszög $T$ területét a $B O C$ , $C O D$ , $D O A$ , $A O B$ részháromszögek $T_{1}$ , $T_{2}$ , $T_{3}$ , $T_{4}$ területének összege adja.

Fejezzük ki a területeket a

D B = D O + O B

átló és a megfelelő magasságok segítségével.

\begin{matrix} T_{1} = \frac{O B \cdot m_{1}}{2}, T_{2} = \frac{O D \cdot m_{1}}{2}, T_{3} = \frac{O D \cdot m_{2}}{2}, T_{4} = \frac{O B \cdot m_{2}}{2} . \end{matrix}

Vegyük észre, hogy

T_{1} T_{3} = T_{2} T_{4}

, vagyis

\begin{matrix} T_{4} = \frac{T_{1} T_{3}}{T_{2}} . \end{matrix}

(1)

Legyen

T_{4}

az ismeretlen terület, akkor a másik három terület értékéről annyit tudunk, hogy a

24 {cm}^{2}

, ill.

25 {cm}^{2}

valamelyike. Keressük a

T = T_{1} + T_{2} + T_{3} + T_{4}

összeg maximális értékét. Azt gondolnánk, ez akkor a legnagyobb, ha a

T_{1}

T_{2}

T_{3}

mindegyikét

25 {cm}^{2}

-nek választjuk. Ekkor (1) miatt

\begin{matrix} T_{4} = \frac{T_{1} T_{3}}{T_{2}} = \frac{25 \cdot 25}{5} = 25 {cm}^{2}, és így \end{matrix}

T = 100 {cm}^{2}

adódna.
Valójában nem ez a legnagyobb érték. Ez rögtön kiderül, ha megvizsgáljuk, mikor lesz legnagyobb az (1) tört. Nyilván akkor, ha a számlálója a lehető legnagyobb és ugyanakkor a nevezője a lehető legkisebb, azaz ha

T_{1} = T_{3} = 25 {cm}^{2}

és

T_{2} = 24 {cm}^{2}

.
Ekkor

T_{4} = \frac{25 \cdot 25}{24} = 26 \frac{1}{24} {cm}^{2}

és

T = 25 + 24 + 25 + 26 \frac{1}{24} = 100 \frac{1}{24} >

> 100 {cm}^{2}

.
Megmutatjuk, hogy ez

T

lehető legnagyobb értéke. Mivel

T_{1} \leq 25 {cm}^{2}

T_{3} \leq 25 {cm}^{2}

, ezért

T_{1} + T_{3} \leq 50 {cm}^{2}

, és

T_{1} \cdot T_{3} \leq W = 625 {cm}^{4}

. Tehát

\begin{matrix} T \leq 50 {cm}^{2} (T_{2} + \frac{W}{T_{2}}) . \end{matrix}

Itt

T_{2}

-nek két lehetséges értéke van. Mindkettő mellett kiszámoltuk már a jobb oldal értékét, és láttuk, hogy az

T_{2} = 24 {cm}^{2}

mellett nagyobb a

T_{2} = 25 {cm}^{2}

-hez tartozó értéknél.
F. G.

Megjegyzések. 1. Könnyen belátható, hogy a maximális területű négyszög trapéz. Ugyanis ha

T_{1} = T_{3} = 25 {cm}^{2}

, akkor

T_{A C D} = T_{B C D}

. Mivel

A C D_{▵}

és

B C D_{▵}

alapja,

D C

azonos, és területük egyenlő, a magasságuknak is meg kell egyeznie. Ez viszont azt jelenti, hogy

A B ∥ D C

, vagyis a négyszög trapéz.
2. Nagyon sok megoldó az

\frac{1}{24}

törtet átírta tizedestört alakra és a

0, 0416

tört értékét lekerekítette

0, 041

vagy

0, 04

értékre. Ilyenkor szigorúan véve ,,a legfeljebb mekkora ... ?'' kérdésre nem adtak helyes választ !