Kezdőlap


Feladat:	Gy.1993	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Füzet:	1982/február, 71 - 72. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Racionális számok és tulajdonságaik, Indirekt bizonyítási mód, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1981/szeptember: Gy.1993

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelölje a számokat nagyság szerint rendre $a_{1}, a_{2}, ..., a_{7}$ . Elegendő megmutatni, hogy van olyan két szomszédos szám, hogy a nagyobbiknak és a kisebbiknek a hányadosa legfeljebb $2$ , hisz ez a hányados $1$ -nél nagyobb.
Tegyük fel, hogy nem igaz az állítás. Megmutatjuk, hogy ekkor $a_{7} \geq 127$ , ami ellentmondás.
Ha az állítás nem teljesül, akkor $a_{i + 1} > 2 a_{i}$ minden $1$ és $6$ közé eső $i$ -re. Mivel a számok egészek, ez azt jelenti, hogy

\begin{matrix} a_{i + 1} \geq 2 a_{i} + 1, i = 1, 2, ..., 6. \end{matrix}

Mivel

a_{i} \geq 1

, így

a_{2} \geq 3

a_{3} \geq 7

a_{4} \geq 15

a_{5} \geq 31

a_{6} \geq 63

a_{7} \geq 127

. A kapott ellentmondás azt jelenti, hogy

a_{i + 1} > 2 a_{i}

nem teljesülhet minden

1

és

6

közé eső

i

-re, és ezt akartuk bizonyítani.

Megjegyzés A megoldásban nem használtuk ki, hogy a számok különbözők. Az viszont fontos, hogy a számok egészek; erre példa az alábbi sorozat:

a_{1} = 1;

a_{2} = 2, 5;

a_{3} = 5, 5;

a_{4} = 11, 5;

a_{5} = 23, 5;

a_{6} = 47, 5;

a_{7} = 95, 5

. Ebben a sorozatban

a_{i + 1} = 2 a_{i} + 0, 5

, tehát a feladat állítása nem teljesül.