Kezdőlap


Feladat:	Gy.1992	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1982/március, 118. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Diofantikus egyenletek, Prímtényezős felbontás, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1981/szeptember: Gy.1992

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az első két tag összege négyzetszám, ugyanis $2^{8} + 2^{11} = 2^{8} (1 + 2^{3}) = 2^{8} \cdot 9 = 48^{2}$ . Így ha $k$ olyan egész, melyre $2^{8} + 2^{11} + 2^{n} = k^{2}$ , akkor

\begin{matrix} 2^{n} = k^{2} - 48^{2} = (k - 48) (k + 48) . \end{matrix}

Föltehető, hogy

k

pozitív, ekkor a jobb oldalon pozitív egészek szorzata áll. Ha ez a szorzat

2

-hatvány, akkor a tényezők is

2

hatványai. Léteznek tehát olyan

p

és

q

nem negatív egészek, melyekre

p < q

és

2^{p} = k - 48

, valamint

2^{q} = k + 48

.
A most kapott egyenletek közül a másodikból az elsőt kivonva

\begin{matrix} 2^{q} - 2^{p} = 96, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} 2^{p} (2^{q - p} - 1) = 2^{5} \cdot 3 \end{matrix}

adódik.
Ismeretes, hogy minden pozitív egész szám egyértelműen bontható föl egy páratlan szám és egy természetes kitevőjű

2

-hatvány szorzatára. Mivel

q > p

, így

2^{q - p} - 1

páratlan, tehát esetünkben

\begin{matrix} 2^{p} = 2^{5} és 2^{q - p} - 1 = 3. \end{matrix}

Emiatt

p = 5

és

q = 7

, tehát

\begin{matrix} 2^{n} = 2^{p} \cdot 2^{q} = 2^{12} . \end{matrix}

A feladat egyetlen megoldása tehát

n = 12

. Ekkor

2^{8} + 2^{11} + 2^{12} = 80^{2}

U. G.