Vizsgáljuk meg először, legalább hány jegyűnek kell lennie egy olyan természetes számnak, amelyben a jegyek összege $1981$. Egy számjegy legfeljebb $9$-es, így a jegyek összege legfeljebb a számjegyek számának kilencszerese. Ez azt jelenti, hogy a számjegyek száma nem lehet kisebb, mint a számjegyek összegének kilencedrésze.
Esetünkben $1981:9=220\mathrm{,}1$, és a számjegyek száma egész, így legalább $221$. Elegendő tehát az adott tulajdonságú $221$ jegyű számok közül kiválasztani a legkisebbet, hisz ez minden $221$-nél több jegyből álló számnál kisebb lesz.
Elegendő azokat a számokat vizsgálni, ahol az első jegy a lehető legkisebb. Az első jegy akkor a legkisebb, ha a további $220$ jegy összege a lehető legnagyobb. Ez az összeg legfeljebb $220\cdot 9=1980$, így az első jegy legkisebb értéke $1$, és ez csak akkor érhető el, ha minden további jegy kilences. Egyetlen olyan $221$ jegyű szám létezik tehát, amelyben a jegyek összege $1981$ és a szám első jegye $1$, minden további adott tulajdonságú szám vagy legalább $222$-jegyű, vagy $221$-jegyű, de legalább $2$ az első jegye.
Így a keresett szám: