Feladat:	Gy.1989	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1982/január, 13 - 14. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Tetraéderek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1981/május: Gy.1989

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   1. ábra   2. ábra A feltételek alapján az $ABC$ lap egyenlő szárú derékszögű háromszög. Tekintsük ennek a lapnak $S$ síkját, és jelöljük $D\text{'}$-vel a $D$ csúcs merőleges vetületét $S$-re (1. ábra). Mivel a $CD$ él merőleges $AB$-re, azért a $CD$ egyenesnek az $AB$ élt tartalmazó $S$ síkra való merőleges vetülete is merőleges $AB$-re, tehát $CD\text{'}\perp AB$. Hasonlóan kapjuk az $AD\perp AC$ feltételből, hogy $AD\text{'}\perp AC$. Így $D\text{'}$ ennek a két merőleges egyenesnek a metszéspontjában van, azaz $AD\text{'}BC$ négyzet (2. ábra). A feladat az $ACB$ és $ACD$ lapok hajlásszögét kérdezi. Szomszédos lapok hajlásszögén két olyan félegyenes szögét értjük, melyek a közös él egy pontjából indulnak, merőlegesek erre az élre, és a lapokat tartalmazó félsíkokban futnak. Esetünkben a lapok közös éle $AC$, a két félegyenesnek $AD$, illetve $AD\text{'}$ megfelelő választás, hiszen az első az $ACD$, a második az $ABC$ lap síkjában van, s mindkettő merőleges az $AC$ egyenesre. Így a keresett szög az $ADD\text{'}$ derékszögű háromszög $A$-nál levő szöge, ez pedig $AD\text{'}=AC=AD/2$ alapján ${60}^{\circ }$.