Kezdőlap


Feladat:	Gy.1988	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Böröczky L. , Engländer J. , Erdős 228 L. , Hetyei Judit , Magyar Á. , Megyesi Gábor , Szabó Z.
Füzet:	1982/március, 117 - 118. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Indirekt bizonyítási mód, Logikai feladatok, Maradékos osztás, Szabályos sokszögek geometriája, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1981/május: Gy.1988

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megmutatjuk, hogy nem lehet. Tegyük fel ugyanis, hogy van megfelelő számozás és helyezzük egymás fölé a két nyolcszöget. Legyen a felső lap ‐ amelyiknek csúcsait sorban megszámoztuk ‐ $i$ -edik csúcsa alatt az alsó lap $a_{i}$ számú csúcsa, ahol $a_{i}$ az $1$ , $2$ , $...$ , $8$ számok valamelyike. Ahhoz, hogy az $i$ és $a_{i}$ csúcsok egymás fölé kerüljenek, az alsó nyolcszöget az óramutató járásával ellentétes irányba $k_{i} \cdot 45^{\circ}$ -os szöggel kell elforgatni, ahol

\begin{matrix} k_{i} = {\begin{matrix} i - a_{i} ha i ≧ a_{i}, \\ i - a_{i} + 8 ha i < a_{i} . \end{matrix} \end{matrix}

i

1

-től

8

-ig fut,

k_{i}

0

1

2

...

7

értékek mindegyikét pontosan egyszer veszi fel. Ha ugyanis valamelyik értéket legalább kétszer venné fel, akkor lenne a

8

érték között legalább egy, mondjuk

k

, amelyik nem egyenlő egyik

k_{i}

-vel sem. Erre a

k

-ra elvégezve a

k \cdot 45^{\circ}

-os forgatást, egyetlen csúcs sem jutna fedésbe.
A

k_{i}

számok definíciójából kapjuk, hogy

\begin{matrix} k_{1} + k_{2} + ... + k_{8} = (1 + 2 + ... + 8) - (a_{1} + a_{2} + ... + a_{8}) + 8 m, \end{matrix}

ahol

m

valamilyen egész szám. De

a_{1} + a_{2} + ... + a_{8} = 1 + 2 + ... + 8,

így

\begin{matrix} 8 m = k_{1} + k_{2} + ... + k_{8} = 0 + 1 + ... + 7 = 28. \end{matrix}

Mivel

28

nem osztható

8

-cal, ellentmondásra jutottunk, azaz nem létezik a kívánt számozás.

Megjegyzés. Hasonlóan látható be, hogy megfelelő számozás tetszőleges

n

szög esetén akkor és csak akkor létezhet, ha

\frac{n (n - 1)}{2}

és

n (n - 1) n

-nel osztva ugyanazt a maradékot adja, vagyis ha

n

páratlan. Ekkor az ellentétes irányú számozás megfelelő.

Megyesi Gábor (Szeged, Juhász Gy. Tanárképző Főiskola 1. sz. Gyak. Ált. Isk., 8. o. t.)