Kezdőlap


Feladat:	Gy.1986	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1982/február, 70 - 71. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek nevezetes tételei, Súlyvonal, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1981/május: Gy.1986

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Jelöljük a háromszög oldalait, szögeit a szokásos módon, a körülírt körének sugarát $r$ -rel. Tudjuk, hogy az oldalak kifejezhetők a sugár segítségével:

\begin{matrix} a = 2 r sin α, b = 2 r \cdot sin β, c = 2 r sin γ . \end{matrix}

Innen

\begin{matrix} a^{2} + b^{2} + c^{2} = 4 (sin^{2} α + sin^{2} β + sin^{2} γ), mivel r = 1 . \end{matrix}

(1)

Ezt a kifejezést kell vizsgálnunk. Felhasználva a háromszögben fennálló következő összefüggéseket

\begin{matrix} α + β + γ = 180^{\circ}, sin γ = sin (α + β) . \end{matrix}

Továbbá hogy

\begin{matrix} sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β és sin^{2} α = 1 - cos^{2} α, \end{matrix}

alakítsuk (1)-et szorzattá

\begin{matrix} a^{2} + b^{2} + c^{2} = 4 (1 - cos^{2} α + 1 - cos^{2} β + {(sin (α + β))}^{2}) = \\ = & 4 (2 - cos^{2} α - cos^{2} β + sin^{2} α cos^{2} β + cos^{2} α sin^{2} β + 2 sin α cos β cos α sin β) = \\ = 4 [2 - cos^{2} α {\underset{︸}{(1 - sin^{2} β)}}_{cos^{2} β}^{} - cos^{2} β {\underset{︸}{(1 - sin^{2} α}}_{cos^{2} α}^{} + 2 sin α cos β cos α sin β] = \\ = 4 [2 - 2 cos^{2} α cos^{2} β + 2 sin α cos β cos α sin β] = \\ = 8 [1 + cos α cos β (sin α sin β - cos α cos β)] . \end{matrix}

Könnyű belátni, hogy a kerek zárójelben álló kifejezés nem más, mint a

cos (α + β)

(- 1)

-szerese, de

α + β = 180^{\circ} - γ

miatt

[- cos (α + β)] = cos γ

. Azaz

\begin{matrix} a^{2} + b^{2} + c^{2} = 8 (1 + cos α cos β cos γ) . \end{matrix}

Ha a háromszög hegyesszögű, akkor mindhárom szögének cosinusa pozitív, tehát az

a^{2} + b^{2} + c^{2} > 8

teljesül.
Ha a háromszög derékszögű, akkor valamelyik tényező

0

, s így valóban

a^{2} +

+ b^{2} + c^{2} = 8

.
És végül, tompaszögű háromszög esetén csak egy cosinus lehet negatív (a háromszögben csak egy tompaszög lehet), s emiatt a szorzat negatív, azaz a négyzetösszeg kisebb

8

-nál.

II. megoldás. Tegyük fel, hogy

a \leq b \leq c

, és jelöljük az

a

-val,

b

-vel,

c

-vel szemközti csúcsokat

A

-val,

B

-vel,

C

-vel,

A

-nak

B C

felezőpontjára vonatkozó tükörképét

D

-vel.

A B C D

paralelogrammában

\begin{matrix} 2 (b^{2} + c^{2}) = a^{2} + 4 s^{2}, \end{matrix}

ahol

s

A B C

háromszög

A

-hoz tartozó súlyvonalának a hosszát jelöli. Adjunk mindkét oldalhoz

2 a^{2}

-et, kapjuk, hogy

\begin{matrix} 2 (a^{2} + b^{2} + c^{2}) = 3 a^{2} + 4 s^{2} . \end{matrix}

Ha tehát a háromszög köré írható körön a

B

C

csúcsok rögzítettek, és

A

mozog, akkor a bal oldal értéke

s

monoton függvénye. Így ha hegyesszögű háromszögben

A

-t a

B

-vel átellenes

A^{*}

helyzetbe toljuk, akkor az

(a^{2} + b^{2} + c^{2})

az új helyzetben kisebb lesz, mint a régiben. Ha viszont

C

-nél tompaszög volt (az

a \leq b \leq c

feltétel miatt csak ott lehetett), akkor az új helyzetben nagyobb lesz a négyzetösszeg, mint a régiben. Az pedig, hogy ha

A

azonos

A^{*}

-gal,

a^{2} + b^{2} + c^{2} = 2 B A^{* 2} = 8

, Pitagorasz tételéből látható.