A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Jelöljük a háromszög oldalait, szögeit a szokásos módon, a körülírt körének sugarát -rel. Tudjuk, hogy az oldalak kifejezhetők a sugár segítségével: | | Innen | | (1) | Ezt a kifejezést kell vizsgálnunk. Felhasználva a háromszögben fennálló következő összefüggéseket | | Továbbá hogy | | alakítsuk (1)-et szorzattá
Könnyű belátni, hogy a kerek zárójelben álló kifejezés nem más, mint a -szerese, de miatt . Azaz | |
Ha a háromszög hegyesszögű, akkor mindhárom szögének cosinusa pozitív, tehát az teljesül. Ha a háromszög derékszögű, akkor valamelyik tényező , s így valóban . És végül, tompaszögű háromszög esetén csak egy cosinus lehet negatív (a háromszögben csak egy tompaszög lehet), s emiatt a szorzat negatív, azaz a négyzetösszeg kisebb -nál. II. megoldás. Tegyük fel, hogy , és jelöljük az -val, -vel, -vel szemközti csúcsokat -val, -vel, -vel, -nak felezőpontjára vonatkozó tükörképét -vel.
Az paralelogrammában ahol az háromszög -hoz tartozó súlyvonalának a hosszát jelöli. Adjunk mindkét oldalhoz -et, kapjuk, hogy Ha tehát a háromszög köré írható körön a , csúcsok rögzítettek, és mozog, akkor a bal oldal értéke monoton függvénye. Így ha hegyesszögű háromszögben -t a -vel átellenes helyzetbe toljuk, akkor az az új helyzetben kisebb lesz, mint a régiben. Ha viszont -nél tompaszög volt (az feltétel miatt csak ott lehetett), akkor az új helyzetben nagyobb lesz a négyzetösszeg, mint a régiben. Az pedig, hogy ha azonos -gal, , Pitagorasz tételéből látható. |