Feladat: Gy.1985 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: könnyű
Füzet: 1982/január, 11. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Oszthatóság, Számjegyekkel kapcsolatos feladatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1981/május: Gy.1985

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Nem igaz. Például a 9981 szám számjegyeinek összege 27, de a szám 27-tel osztva 18-at ad maradékul.

 

II. megoldás. Legyen A tetszőleges egész szám, amelynek az utolsó két számjegye például 6 és 3. Akkor A és A-9 jegyeinek az összege egyenlő, így mindkettő lehet 27-tel osztható, ha a többi számjegyet alkalmasan választjuk meg. Viszont A és A-9 nyilván nem lehet egyszerre 27-tel osztható. Tehát a mondott állítás nem igaz.
 

Megjegyzések. 1. Ha a tízes számrendszerbeli A=anan-1...a1 szám számjegyeinek
S(A)=an+an-1+...+a1
összege osztható 27-tel, akkor A nyilván osztható 9-cel. Belátható, hogy a B=A/9 hányados 3-mal osztva ugyanannyi maradékot ad, mint a
T(A)=1⋅a1+2⋅a2+0⋅a3+...+h(n)⋅an
összeg, ahol h(n) az n:3 osztás maradéka. Emiatt ha S(A) osztható 27-tel, és T(A) osztható 3-mal, akkor A már osztható 27-tel.
 

2. Előfordulhat, hogy A osztható 27-tel, de számjegyeinek S(A) összege nem, amint azt az A=27 példa mutatja. Általában A akkor és csakis akkor osztható 27-tel, ha T(A)+S(A)9 3-mal osztható egész szám, ahol T(A) az előző megjegyzésben definiált összeg. (R. Zs.)