Kezdőlap


Feladat:	Gy.1980	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1982/január, 10. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Gyakorlat, Síkgeometriai bizonyítások
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1981/április: Gy.1980

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Vezessük be a $λ$ és $μ$ nemnegatív számokat, amelyekkel $O A' = λ \cdot O A$ és $O B' = μ \cdot O B$ . Ezeket a kifejezéseket (1)-be helyettesítve azt kapjuk, hogy

\begin{matrix} \frac{λ}{μ} {(\frac{O A}{O B})}^{2} = {(\frac{1 + λ}{1 + μ})}^{2} {(\frac{O A}{O B})}^{2} . \end{matrix}

O A B

és

O A' B'

valódi háromszögek akkor

O A

nem nulla, tehát szükségképpen

\begin{matrix} \frac{λ}{μ} = {(\frac{1 + λ}{1 + μ})}^{2} . \end{matrix}

Másrészt

μ

sem lehet nulla, ezért ez esetben (1)-gyel egyenértékű a következő kifejezés:

\begin{matrix} λ {(1 + μ)}^{2} = μ {(1 + λ)}^{2} . \end{matrix}

Azonos átalakítások révén ebből azt kapjuk, hogy

\begin{matrix} (λ - μ) (1 - λ μ) = 0. \end{matrix}

Két eset lehetséges.

I.

λ - μ = 0

, vagyis

λ = μ

. Ekkor az

O A B

és

O A' B'

háromszögek valóban hasonlók.
II.

1 - λ μ = 0

, vagyis

λ \frac{1}{μ}

. Ekkor egyáltalán nem biztos, hogy az

O A B

és

O A' B'

háromszögek hasonlóak. Ezt egy példával mutatjuk meg. Az

O

-ból induló

a

b

félegyenesek legyenek egymásra merőlegesek. Legyen

O A = O B = 1

, továbbá

λ = 2

és

μ = \frac{1}{2}

(1. ábra).

O A B

háromszög derékszögű egyenlő szárú háromszög, míg az

O A' B'

háromszög derékszögű, de nem egyenlő szárú.
Mit válaszoljunk ezek után a kérdésre, miszerint igaz-e, hogy az

O A B

és

O A' B'

háromszögek hasonlók? Azt kell válaszolnunk, hogy nem tudjuk eldönteni a kérdést. Ehhez (1) nem nyújt elegendő alapot. (L. L.)

Megjegyzés. Meglepően nagy nehézséget okozott a feladat megoldása. Sokan nem merték elhinni, hogy az állítás nem igaz. Mások indirekt bizonyítással próbálkoztak, de nem vették észre, hogy nincs ellentmondás. Tipikus hiba volt az is, hogy az

A \Rightarrow B

alakú állítást

B \Rightarrow A

alakban bizonyították, még ha fel is merült az, hogy bizonyítani kellene azt, hogy ( nem

B) \Rightarrow (

nem

A

) (Pedig hamar találtak volna ellenpéldát.)
Akik algebrailag alakították át először a kifejezést, azok közül többen nem tudtak mit kezdeni a szokásos " ekvivalens átalakítást végeztünk'' címkével. Többen osztottak egy olyan kifejezéssel, ami lehet 0, de erre nem gondoltak. Sokakat megzavart egy‐egy rossz ábra, például

A

A'

, illetve

B

B'

sorrendjét nem cserélték fel. Többen foglalkoztak (feleslegesen) azzal az esettel, amikor

A

B

, ill.

A'

B'

van egy‐egy félegyenesen.