Feladat: Gy.1975 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1982/január, 5 - 6. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Oszthatóság, Prímtényezős felbontás, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1981/április: Gy.1975

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Egy szám akkor végződik N=1981 nullára, ha a törzstényezős alakjában a 2 és az 5 kitevője közül a kisebbik N. Mivel az egész számok között a párosak gyakoribbak, mint az 5-tel oszthatóak, várható, hogy csak olyan megoldás létezik, amelyben az 5 kitevője a kisebb. Jelöljük az n!=1⋅2⋅3⋅...⋅n szorzat törzstényezős alakjában az 5 kitevőjét K(n)-nel. Olyan n-et keresünk tehát először, amelyben

K(n)=N.(1)

Mivel n<m mellett m! osztható n!-sal, K(n)≤K(m). Mivel az első N öttel osztható szám között öt magasabb hatványai is szerepelnek, az N kitevő eléréséhez nincs szükség az első N öttel osztható számra, n<5N.
 

Jelöljük az n-nél nem nagyobb, 5-tel osztható, de 25-tel nem osztható számok számát a(n)-nel. Hasonlóan jelöljük az n-nél nem nagyobb, pontosan 25-tel, 125-tel, 625-tel, 3125-tel osztható számok számát rendre b(n)-nel, c(n)-nel, d(n)-nel és e(n)-nel. Mivel n<5N<5⋅3125, az 5 hatodik hatványával osztható szám már nem fordulhat elő az első n szám között. Általában az 5k-nal osztható, de 5k+1-nel nem osztható számok n!-ban 5 kitevőjét k-val növelik, emiatt
K(n)=a(n)+2b(n)+3c(n)+4d(n)+5e(n)==A(n)+B(n)+C(n)+D(n)+E(n),
ahol A(n), B(n), C(n), D(n), E(n) az n-nél nem nagyobb, legalább 5-teI, 25-tel, 125-tel, 625-tel, 3125-tel osztható számok számát jelöli, vagyis
A(n)=a(n)+b(n)+c(n)+d(n)+e(n),B(n)=b(n)+c(n)+d(n)+e(n)C(n)=c(n)+d(n)+e(n),D(n)=d(n)+e(n),E(n)=e(n).

Ha n=5N, akkor A(n)=N=1981, B(n)=396, C(n)=79, D(n)=15, E(n)=3, tehát
K(n)=1981+396+79+15+3=2474=N+493.

Ha ezzel a 493-mal csökkentjük N-et, az várhatóan sok lesz, hiszen közben nemcsak A(n), hanem B(n), C(n), D(n), E(n) is csökken. Valóban,
K(5⋅1488)=1488+297+59+11+2=1857=N-124.
Adjuk most ezt a 124-et az 1488-hoz:
K(5⋅1612)=1612+322+64+12+2=2012=N+31,
csökkentjük 31-gyel az 1612-t:
K(5⋅1581)=1581+316+63+12+2=1974=N-7.
Hasonlóan tovább haladva kapjuk, hogy
K(5⋅1588)=1588+317+63+12+2=1982=N+1,K(5⋅1587)=1587+317+63+12-2=1981=N.

Tehát n=7935 mellett K(n)=N és nyilván ugyancsak N az értéke K(n)-nek, ha n=7936, 7937, 7938, vagy n=7939. Ezek mellett n! törzstényezős alakjában a 2 kitevője nagyobb, mint az n-nél nem nagyobb páros számok száma, tehát várakozásunknak megfelelően nagyobb N-nél. Azt is láttuk, hogy n<7935 mellett K(n)<N és n≥7940 mellett K(n)>N, tehát csak a felsorolt öt szám lehet a tényezők száma, ha a szorzat 1981 darab 0-ra végződik.
 

II. megoldás. Tovább használjuk az I. megoldásban bevezetett jelöléseket, és azt az eredményt, hogy elegendő az (1) egyenletet megoldani. Írjuk fel a keresett n számot az 5 alapú számrendszerben! Mivel n<5N<56, a kapott szám legfeljebb hat jegyű. Jelöljük a számjegyeket rendre P-vel, Q-val, R-rel,S-sel, T-vel és U-val. Az 5 alapú számrendszer n=PQRSTU számánál nem nagyobb, öttel osztható számok száma az n/5 hányados egész része. Ennek az 5 alapú számrendszerben felírt alakját úgy kapjuk, hogy elhagyjuk az utolsó számjegyet. Tehát az 5 alapú számrendszerben A(n)=PQRST, és hasonlóan tovább haladva kapjuk, hogy B(n)=PQRS, C(n)=PQR, D(n)=PQ, E(n)=P. Így a K(n) kitevő értéke
K(n)=P(54+53+52+5+1)+Q(53+52+5+1)+R(52+5+1)+S(5+1)+T==781P+156Q+31R+6S+T.


Itt a P, Q, R, S, T ismeretlenek értéke csak 0 és 4 közötti egész szám lehet. Emiatt ha K(n)=1981, P értéke csak 2 lehet, hiszen P>2 mellett K(n)≥3⋅781=2343, és P<2 mellett K(n)≤781+4(156+31+6+1)=1557. Ha P=2, akkor (1) ekvivalens a
156Q+31R+6S+T=419
egyenlettel. Itt Q értéke csak 2 lehet, hiszen Q>2 mellett a bal oldal értéke legalább 468, Q<2 mellett legfeljebb 308. Ha P=Q=2, (1) ekvivalens a
31R+6S+T=107
egyenlettel. Itt R értéke csak 3 lehet, és ekkor S=2, T=2. Tehát a keresett n szám alakja az 5 alapú számrendszerben 223220, 223221, 223222, 223223, vagy 223224, így n megfelelő értékei a 10 alapú számrendszerben 7935, 7936, 7937, 7938 és 7939.