A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A feladat állítása azt jelenti, hogy ha a szakaszt a egyenesre vetítjük, -val egyenlő nagyságú szakaszt kapunk. Ezért nincs jelentősége, hogy a -re merőleges átmérő melyik végpontját jelöljük -vel, és melyiket -vel.
Ez az átmérő metszi az szakaszt, tehát az egyenes elválasztja a , pontokat. Válasszuk úgy a betűzést, hogy a , pontokat is elválassza egymástól, és húzzunk -n át -vel párhuzamos egyenest. Mivel nem lehet -vel párhuzamos, ez az egyenes sem lehet -re merőleges, vagyis nem érintheti a háromszög köré írt kört. Jelöljük a körrel alkotott második metszéspontját -fel. Mivel , a szakasznak a , egyeneseken levő vetületei egyenlő hosszúak. Thalész tétele szerint a egyenesen levő vetület maga a szakasz, így azt kell belátnunk, hogy . Ez a két szakasz a egyenesnek ugyanazon az oldalán van, így elegendő belátni, hogy . Ez ugyanis biztosítja, hogy a -re merőleges átmérőre való tükrözés a szakaszt éppen -be vigye át. Mivel , , ez utóbbit pedig a -re való tükrözés éppen -be viszi át, így a feladat állítását bebizonyítottuk.
Megjegyzés. Megoldásunk azon alapult, hogy az , négyszögek szimmetrikus trapézok. Emiatt , vagyis az háromszög belső szögfelezője. Ezt persze a kerületi szögek tételéből is kiolvashattuk volna, de szándékosan választottunk lehetőleg kevés segédeszközt felhasználó megoldást, hiszen a feladat jelű volt. |