Kezdőlap


Feladat:	Gy.1972	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1981/december, 212 - 213. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül körökben, Gyakorlat, Síkgeometriai bizonyítások, Thalesz tétel és megfordítása
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1981/március: Gy.1972

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A feladat állítása azt jelenti, hogy ha a $D E$ szakaszt a $B C$ egyenesre vetítjük, $A B$ -val egyenlő nagyságú szakaszt kapunk. Ezért nincs jelentősége, hogy a $A C$ -re merőleges átmérő melyik végpontját jelöljük $D$ -vel, és melyiket $E$ -vel.

Ez az átmérő metszi az

A C

szakaszt, tehát az

A C

egyenes elválasztja a

D

E

pontokat. Válasszuk úgy a betűzést, hogy

A C

B

D

pontokat is elválassza egymástól, és húzzunk

D

-n át

B C

-vel párhuzamos egyenest. Mivel

B C

nem lehet

A C

-vel párhuzamos, ez az egyenes sem lehet

D E

-re merőleges, vagyis nem érintheti a háromszög köré írt kört. Jelöljük a körrel alkotott második metszéspontját

F

-fel. Mivel

D F ∥ B C

, a

D E

szakasznak a

D F

B C

egyeneseken levő vetületei egyenlő hosszúak. Thalész tétele szerint a

D F

egyenesen levő vetület maga a

D F

szakasz, így azt kell belátnunk, hogy

D F = B A

.
Ez a két szakasz a

B D

egyenesnek ugyanazon az oldalán van, így elegendő belátni, hogy

A D = B F

. Ez ugyanis biztosítja, hogy a

B D

-re merőleges átmérőre való tükrözés a

B A

szakaszt éppen

D F

-be vigye át. Mivel

D F ∥ B C

B F = C D

, ez utóbbit pedig a

D E

-re való tükrözés éppen

A D

-be viszi át, így a feladat állítását bebizonyítottuk.

Megjegyzés. Megoldásunk azon alapult, hogy az

A D B F

D C B F

négyszögek szimmetrikus trapézok. Emiatt

A B D ∢ = B D F ∢ = D B G ∢

, vagyis

B D

A B C

háromszög belső szögfelezője. Ezt persze a kerületi szögek tételéből is kiolvashattuk volna, de szándékosan választottunk lehetőleg kevés segédeszközt felhasználó megoldást, hiszen a feladat

E

jelű volt.