Kezdőlap


Feladat:	Gy.1971	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1981/december, 211 - 212. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül körökben, Gyakorlat, Síkgeometriai bizonyítások, Középponti és kerületi szögek
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1981/március: Gy.1971

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük $A$ -val azt az érintési pontot, amelyen átmenő érintőtől mért távolság $a$ , és jelöljük a másik érintési pontot $B$ -vel. Ha $C$ $A$ -val vagy $B$ -vel azonos, akkor $c = 0$ , és $a b = 0$ , tehát az állítás igaz. Különben az $A B C$ pontok valódi háromszöget határoznak meg, melynek $B$ -nél levő szöge a kerületi szögek tétele miatt egyenlő az $A$ -beli érintő és az $A C$ egyenes közti szöggel.

Emiatt

\begin{matrix} B C : c = A C : a, \end{matrix}

(1)

hiszen az (1) bal oldalán álló arány első tagja az

A B

egyenessel

β

szöget bezáró

B C

szakasz hossza, második tagja a szakasz végpontjának

A B

-től mért távolsága, a jobb oldalon pedig az

A

-beli érintővel ugyancsak

β

szöget bezáró

A C

szakaszra írtuk fel a megfelelő mennyiségek arányát. Mivel ez az arány nem változik meg, ha

β

értékét

(180^{\circ} - β)

-ra cseréljük, nem kell a szóban forgó egyenesek és szakaszok kölcsönös helyzetét megvizsgálnunk, (1) attól függetlenül mindig igaz. Hasonlóan kapjuk, hogy

\begin{matrix} A C : c = B C : b, \end{matrix}

ami (1 )-gyel együtt a bizonyítandó

a : c = c : b

összefüggést adja.