A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Ha van a -n átmenő egyenesnek az szakasszal közös pontja, akkor -nak -től mért távolsága legfeljebb , -nek -től mért távolsága legfeljebb , és a kettő összege legfeljebb Ez el is érhető, ha -nek az egyenesen levő vetülete az szakaszon van, amikor is -nek épp ezt a vetületet kell választani. Ha -nek nincs közös pontja az szakasszal, tükrözzük -t és -t az szakasz felezőpontjára. Jelöljük a kapott egyenest -vel, tükörképét pedig -vel.
Mivel az szakasz -re vonatkozó tükörképe önmaga, -nek sincs -vel közös pontja, és az szakasz -fel együtt a és egyenesek közti sávban van. A felhasznált tükrözés -nek -től mért távolságát -nak -től mért távolságába viszi át. Emiatt az , pontok -től mért távolságának az összege egyenlő -nak -től és -től mért távolságának összegével. Mivel most a párhuzamos , egyenesek között van, ez utóbbi egyenlő és távolságával, ami viszont legfeljebb . Ez el is érhető, ha -t -re merőlegesnek választjuk, feltéve, hogy a kapott egyenes nem metszi az szakaszt. Összefoglalva a kapott eredményeinket, megállapíthatjuk, hogy a szóban forgó összeg nem lehet egyidejűleg -nél is, -nél is nagyobb. Megmutatjuk, hogy ha , akkor a maximum -vel egyenlő, különben az értéke. Ha ugyanis , akkor nem lehet az szakasz feletti Thalész körön kívül, így az egyenesen levő vetülete biztosan az szakasz belsejében van. Ekkor a keresett egyenes a egyenes, de ha , akkor a -re merőleges egyenest is választhatjuk helyette. Ha pedig , akkor a -re -ben emelt merőleges vagy érinti -t, vagy -n kívül halad. Igy ha , akkor a vizsgált távolságösszeg maximuma és ehhez -t -re merőlegesnek kell választani. Mivel pontosan akkor van belsejében, -n, vagy -n kívül, ha az háromszög -nél levő szöge tompaszög, derékszög vagy hegyesszög, a kapott eredmény azt jelenti, hogy ezeknek az eseteknek megfelelően a vizsgált maximum értéke rendre , , és , ahol ez utóbbi az háromszög -hez tartozó súlyvonalának a kétszeresével egyenlő. Ha -nél derékszög van, akkor a -beli magasságvonal is, és a -beli súlyvonalra merőleges egyenes is választható a keresett egyenesnek, különben e kettő közül csak az egyik adja a lehető legnagyobb távolságösszeget.
|