Feladat: Gy.1970 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1981/december, 210 - 211. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Síkgeometriai szerkesztések, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1981/március: Gy.1970

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha van a C-n átmenő c egyenesnek az AB szakasszal közös T pontja, akkor A-nak c-től mért távolsága legfeljebb AT, B-nek c-től mért távolsága legfeljebb BT, és a kettő összege legfeljebb AB. Ez el is érhető, ha C-nek az AB egyenesen levő vetülete az AB szakaszon van, amikor is T-nek épp ezt a vetületet kell választani.
Ha c-nek nincs közös pontja az AB szakasszal, tükrözzük c-t és C-t az AB szakasz F felezőpontjára. Jelöljük a kapott egyenest d-vel, C tükörképét pedig D-vel.


Mivel az AB szakasz F-re vonatkozó tükörképe önmaga, d-nek sincs AB-vel közös pontja, és az AB szakasz F-fel együtt a c és d egyenesek közti sávban van. A felhasznált tükrözés B-nek c-től mért távolságát A-nak d-től mért távolságába viszi át. Emiatt az A, B pontok c-től mért távolságának az összege egyenlő A-nak c-től és d-től mért távolságának összegével. Mivel most A a párhuzamos c, d egyenesek között van, ez utóbbi egyenlő c és d távolságával, ami viszont legfeljebb CD. Ez el is érhető, ha c-t CD-re merőlegesnek választjuk, feltéve, hogy a kapott egyenes nem metszi az AB szakaszt.
Összefoglalva a kapott eredményeinket, megállapíthatjuk, hogy a szóban forgó összeg nem lehet egyidejűleg AB-nél is, CD-nél is nagyobb. Megmutatjuk, hogy ha AB≧CD, akkor a maximum AB-vel egyenlő, különben CD az értéke. Ha ugyanis AB≧CD, akkor C nem lehet az AB szakasz feletti k Thalész körön kívül, így az AB egyenesen levő T vetülete biztosan az AB szakasz belsejében van. Ekkor a keresett egyenes a CT egyenes, de ha AB=CD, akkor a CD-re merőleges egyenest is választhatjuk helyette.
Ha pedig CD≧AB, akkor a CD-re C-ben emelt merőleges vagy érinti k-t, vagy k-n kívül halad. Igy ha CD>AB, akkor a vizsgált távolságösszeg maximuma CD és ehhez c-t CD-re merőlegesnek kell választani.
Mivel C pontosan akkor van k belsejében, k-n, vagy k-n kívül, ha az ABC háromszög C-nél levő szöge tompaszög, derékszög vagy hegyesszög, a kapott eredmény azt jelenti, hogy ezeknek az eseteknek megfelelően a vizsgált maximum értéke rendre AB, AB=CD, és CD, ahol ez utóbbi az ABC háromszög C-hez tartozó súlyvonalának a kétszeresével egyenlő. Ha C-nél derékszög van, akkor a C-beli magasságvonal is, és a C-beli súlyvonalra merőleges egyenes is választható a keresett egyenesnek, különben e kettő közül csak az egyik adja a lehető legnagyobb távolságösszeget.