Kezdőlap


Feladat:	Gy.1968	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1981/december, 209 - 210. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú diofantikus egyenletek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1981/március: Gy.1968

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Hány egész megoldása van az alábbi egyenletnek?

\begin{matrix} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{1981} . \end{matrix}

(1)

A törteket eltávolítva és rendezve kapjuk, hogy

\begin{matrix} 3 x y - 1981 x - 1981 y = 0. \end{matrix}

Itt a bal oldal szorzattá alakítható, ha megszorozzuk 3-mal, és hozzáadunk

1981^{2}

-t:

\begin{matrix} (3 x - 1981) (3 y - 1981) = 1981^{2} . \end{matrix}

(2)

Ennek az egyenletnek ugyan

x = y = 0

is gyöke, ami nyilván nem gyöke (1)-nek, de (2) minden további gyöke gyöke (1)-nek, és (1) gyökei mind gyökei (2)-nek, hiszen az

x y

-nal való szorzás csak az

x = 0

vagy

y = 0

újabb gyököket hozhatja be, és ha

x

y

közül az egyik 0, akkor (2) szerint a másik is az.
Elegendő tehát a (2) egyenlet 0-tól különböző egész megoldásait összeszámolni. Ha

x

és

y

0-tól különböző egészek, akkora (2) szerint az

A = 3 x - 1981

szám az

N = 1981^{2} = 7^{2} \cdot 283^{2}

szám

(- 1981)

-től különböző osztója. Megfordítva,

N

valamely

A

osztójából kiindulva akkor kapjuk (2) valamely egész megoldását, ha

A + 1981

is, és

\frac{1981^{2}}{A} + 1981

is osztható 3-mal. Mivel 1981 3-mal osztva 1 maradékot ad, ehhez szükséges és elegendő, hogy

A + 1

osztható legyen 3-mal. Tehát

A

megfelelő értékei a következők:

- 1

- 7

- 283

- 7^{2}

- 283^{2}

- 7^{2} \cdot 283

- 7 \cdot 283^{2}

- 7^{2} \cdot 283^{2}

, és (1) egész megoldásainak száma 8.