A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Hány egész megoldása van az alábbi egyenletnek? A törteket eltávolítva és rendezve kapjuk, hogy Itt a bal oldal szorzattá alakítható, ha megszorozzuk 3-mal, és hozzáadunk -t: | | (2) | Ennek az egyenletnek ugyan is gyöke, ami nyilván nem gyöke (1)-nek, de (2) minden további gyöke gyöke (1)-nek, és (1) gyökei mind gyökei (2)-nek, hiszen az -nal való szorzás csak az vagy újabb gyököket hozhatja be, és ha , közül az egyik 0, akkor (2) szerint a másik is az. Elegendő tehát a (2) egyenlet 0-tól különböző egész megoldásait összeszámolni. Ha és 0-tól különböző egészek, akkora (2) szerint az szám az szám -től különböző osztója. Megfordítva, valamely osztójából kiindulva akkor kapjuk (2) valamely egész megoldását, ha is, és is osztható 3-mal. Mivel 1981 3-mal osztva 1 maradékot ad, ehhez szükséges és elegendő, hogy osztható legyen 3-mal. Tehát megfelelő értékei a következők: , , , , , , , , és (1) egész megoldásainak száma 8.
|