Kezdőlap


Feladat:	Gy.1967	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Füzet:	1981/december, 208 - 209. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1981/március: Gy.1967

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert:

\begin{matrix} x^{2} + x y + y = 1 & (1) \\ y^{2} + x y + x = 5 & (2) \end{matrix}

I. megoldás. Emeljük ki mindkét egyenletben az első két tag közös tényezőit, és

x + y

helyére írjunk

S

-et:

\begin{matrix} x S + y = 1, \end{matrix}

(1a)

\begin{matrix} y S + x = 5. \end{matrix}

(2a)

Összeadva a két egyenletet, és

x + y

helyére ismét

S

-et írva,

S

-re másodfokú egyenletet kapunk:

\begin{matrix} S^{2} + S = 6. \end{matrix}

Ebből

S

értéke teljes négyzetté való kiegészítéssel kapható meg:

\begin{matrix} {(S + 0, 5)}^{2} = 6, 25, \end{matrix}

tehát

S = - 0,5 \pm 2, 5

. Ha már tudjuk

S

értékét, az

\begin{matrix} x + y = S \end{matrix}

összefüggést (1a)-ból, illetve (2a)-ból kivonva kapjuk, hogy

\begin{matrix} x = \frac{1 - S}{S - 1} = - 1, y = \frac{5 - S}{S - 1} . \end{matrix}

Végül az utóbbi alapján

y_{1} = \frac{5 - 2}{2 - 1} = 3

y_{2} = \frac{5 + 3}{- 3 - 1} = - 2

. Behelyettesítéssel meggyőződhetünk róla, hogy mindkét gyökpár kielégíti az eredeti egyenletrendszert.

II. megoldás. Az (1) egyenlet két oldalának a különbsége szorzattá alakítható:

\begin{matrix} (x + 1) (x + y - 1) = 0, \end{matrix}

(1b)

tehát vagy

x = - 1

, vagy

x + y = 1

. Ha

x = - 1

, a (2) egyenlet szerint

y^{2} - y = 6

, ami ismét teljes négyzetté való kiegészítéssel oldható meg:

\begin{matrix} {(y - 0, 5)}^{2} = 6, 25, \end{matrix}

tehát

y = 0, 5 \pm 2, 5

. Ha

x + y = 1

, a (2) egyenlet (2a) alakja szerint

x + y = 5

volna, ami nyilvánvaló ellentmondás. Tehát csak az

x = - 1

y = 0, 5 \pm 2, 5

értékek lehetnek az (1)‐(2) rendszer gyökei. Most nem kell a kapott gyököket ellenőrizni, hiszen ‐ mint láttuk ‐

x = - 1

mellett (1) az

y

értékétől függetlenül teljesül, és ha

x = - 1

, akkor

y

értékét éppen (2) alapján határoztuk meg.