Feladat: Gy.1966 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: könnyű
Füzet: 1981/december, 207 - 208. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Természetes számok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1981/március: Gy.1966

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Öt elemből tízféle pár készíthető. Ha a keresett öt szám között például A és B egyenlő volna, akkor ezeket a C, D, E számokkal párba állítva rendre egyenlő összegeket kapnánk. Emiatt csak akkor várhatjuk, hogy kilenc különböző összeg állítható elő a számokból, ha azok között nincsenek egyenlőek. Tegyük fel, hogy a keresett számok nagysága az ABC szerinti sorrendjükben nő:

A<B<C<D<E.(1)
Olyan számokat keresünk, amelyek tíz páronkénti összege közül vagy az összes 1 és 9 közötti egész, vagy pontosan egy összeg értéke nem 1 és 9 közötti egész. Az első esetben csak egy olyan 1 és 9 közötti egész lehet, amelyik kétszer fordul elő az összegek között. Jelöljük ezt a számot X-szel. A második esetben legyen X a nem 1 és 9 közötti egész összeg. Ha a keresett számokat az
A'=5-E,B'=5-D,C'=5-C,D'=5-B,E'=5-A(2)
számokkal helyettesítjük, ezek páronkénti összegei az eredeti összegeket 10-re kiegészítő számok lesznek. Megfelelő számokból tehát megfelelő számokat kapunk, és a hozzájuk tartozó tizedik összeg X'=10-X. Emiatt feltehetjük, hogy X≧5, ebben az esetben az öt legkisebb összeg értéke 1, 2, 3, 4 és 5.
Nézzük meg, mivel lehetnek egyenlők az A+B, A+C, B+C összegek. Az első kettő értéke csak 1 és 2 lehet, hiszen a tíz lehetséges páronkénti összeg között ezek a legkisebbek. Az már nem biztos, hogy B+C egyenlő 3-mal, mert A+D értéke, vagy akár A+E értéke is kisebb lehet B+C-nél. Más eset azonban nem lehet, tehát B+C értéke 3, 4 vagy 5 lehet.
Ha B+C=3, akkor A=0, B=1, C=2 és 4-gyel csak A+D lehet egyenlő, hiszen ennél minden más páronkénti összeg nagyobb. Tehát D=4, és ekkor B+D=5, C+D=6, továbbá az (A+E), (B+E), (C+E), (D+E) összegek között csak akkor fordulhatnak elő a 7, 8, 9 számok, ha E=7. Ekkor X=D+E=11.
Ha B+C=4, akkor A=-0,5 B=1,5 C=2,5 és 3-mal (A+D)-nek kell egyenlőnek lennie. Tehát D=3,5 és ekkor B+D=5, C+D=6, és így E=5,5 X=A+E=B+D=5.
Ha B+C=5, akkor A=-1, B=2, C=3, és 3-mal ismét (A+D)-nek kell egyenlőnek lennie. Tehát D=4, és B+D=6, C+D=7. Most az (A+E), (B+E), (C+E), (D+E) összegek között a 4, 8, 9 számoknak kell előfordulniuk, így E=5, X=C+D=B+E=7. Összefoglalva eddigi eredményeinket, a (2)-ből kapott megoldásokat is figyelembe véve, az (1) feltétel mellett a következő öt megoldást kapjuk:
 

A   B   C   D   E   X0    1    2    4    7    11-0,5    1,5    2,5    3,5    5,5  5-1    2    3    4    5    70    1    2    3    6    3-2    1    3    4    5    -1

 


Tehát a feladat első kérdésére "igen'' a válasz. Mivel az összes esetet sorra vettük, és X értéke egyikben sem volt 0, a második kérdésre "nem'' a helyes válasz.
 

Megjegyzés. Megállhattunk volna a megoldásunkban a B+C=3 eset vizsgálata után, hiszen elegendő egyetlen megfelelő szám-ötöst találni ahhoz, hogy az első kérdésre válaszoljunk. Nincs szükség az összes lehetséges eset sorravételére a második kérdés megválaszolásához sem, hiszen X=0 mellett a tíz páronkénti összeg összege 45 volna, amiből
(A+B)+(B+C)+(C+D)+(D+E)+(E+A)=2(A+B+C+D+E)=22,5
következne, ami nem egyeztethető össze azzal, hogy bármely két szám összege egész.