A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Öt elemből tízféle pár készíthető. Ha a keresett öt szám között például és egyenlő volna, akkor ezeket a , , számokkal párba állítva rendre egyenlő összegeket kapnánk. Emiatt csak akkor várhatjuk, hogy kilenc különböző összeg állítható elő a számokból, ha azok között nincsenek egyenlőek. Tegyük fel, hogy a keresett számok nagysága az szerinti sorrendjükben nő: Olyan számokat keresünk, amelyek tíz páronkénti összege közül vagy az összes 1 és 9 közötti egész, vagy pontosan egy összeg értéke nem 1 és 9 közötti egész. Az első esetben csak egy olyan 1 és 9 közötti egész lehet, amelyik kétszer fordul elő az összegek között. Jelöljük ezt a számot -szel. A második esetben legyen a nem 1 és 9 közötti egész összeg. Ha a keresett számokat az | | (2) | számokkal helyettesítjük, ezek páronkénti összegei az eredeti összegeket 10-re kiegészítő számok lesznek. Megfelelő számokból tehát megfelelő számokat kapunk, és a hozzájuk tartozó tizedik összeg . Emiatt feltehetjük, hogy , ebben az esetben az öt legkisebb összeg értéke 1, 2, 3, 4 és 5. Nézzük meg, mivel lehetnek egyenlők az , , összegek. Az első kettő értéke csak 1 és 2 lehet, hiszen a tíz lehetséges páronkénti összeg között ezek a legkisebbek. Az már nem biztos, hogy egyenlő 3-mal, mert értéke, vagy akár értéke is kisebb lehet -nél. Más eset azonban nem lehet, tehát értéke 3, 4 vagy 5 lehet. Ha , akkor , , és 4-gyel csak lehet egyenlő, hiszen ennél minden más páronkénti összeg nagyobb. Tehát , és ekkor , , továbbá az , , , összegek között csak akkor fordulhatnak elő a 7, 8, 9 számok, ha . Ekkor . Ha , akkor és 3-mal -nek kell egyenlőnek lennie. Tehát és ekkor , , és így . Ha , akkor , , , és 3-mal ismét -nek kell egyenlőnek lennie. Tehát , és , Most az , , , összegek között a 4, 8, 9 számoknak kell előfordulniuk, így , . Összefoglalva eddigi eredményeinket, a (2)-ből kapott megoldásokat is figyelembe véve, az (1) feltétel mellett a következő öt megoldást kapjuk:
Tehát a feladat első kérdésére "igen'' a válasz. Mivel az összes esetet sorra vettük, és X értéke egyikben sem volt 0, a második kérdésre "nem'' a helyes válasz.
Megjegyzés. Megállhattunk volna a megoldásunkban a B+C=3 eset vizsgálata után, hiszen elegendő egyetlen megfelelő szám-ötöst találni ahhoz, hogy az első kérdésre válaszoljunk. Nincs szükség az összes lehetséges eset sorravételére a második kérdés megválaszolásához sem, hiszen X=0 mellett a tíz páronkénti összeg összege 45 volna, amiből | (A+B)+(B+C)+(C+D)+(D+E)+(E+A)=2(A+B+C+D+E)=22,5 | következne, ami nem egyeztethető össze azzal, hogy bármely két szám összege egész.
|