A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A szóban forgó kör (a továbbiakban kör) középpontját jelöljük -mal. A és körök középpontjait jelöljük -gyel, ill. -vel, érintési pontjukat -ve1, a egyenest pedig -vel. Mivel átmegy a kör pontján és érinti -et, ezért az érintési pont csak lehet. Emiatt az egyenesen van, továbbá rajta van a szakasz felező merőlegesén is. Vizsgáljuk meg, hogy ezek az egyenesek vajon mindig metszik-e egymást. Mivel az egyenes metszi a , köröket, ezért , különböző pontok. Ha párhuzamos volna a szakasz felező merőlegesével (azonos semmiképpen nem lehet vele), akkor merőleges volna -re, vagyis -re. Ez viszont csak úgy volna lehetséges, ha -ben érintené a kört. Ellentmondásra jutottunk, hiszen az egyenes metszi -et. Az egyenes és felező merőlegese tehát metsző egyenesek. Ez azt jelenti, hogy a feltételeknek megfelelő kör mindig létezik, és egyértelműen meghatározott. A továbbiakban két esetet különböztetünk meg. 1. Ha az egyenes áthalad -en és -n, akkor a kör -t is érinti (-ben), mivel ebben az esetben rajta van -n. Ezért a szakasz a kör átmérője, és hossza egyenlő a , körök átmérőinek összegével (1. ábra).
1. ábra 2. Ha úgy metszi a , köröket, hogy nem halad át az , pontokon, akkor , és valódi háromszögek, és egyenlő szárúak (2. ábra).
2. ábra Az , szögek csúcsszögek lévén egyenlőek. Így a három egyenlő szárú háromszög alapon fekvő szögei egyenlőek. Az négyszög paralelogramma, mert benne a -nél levő szög mindkét szomszédját -ra egészíti ki. Mivel a paralelogramma szemközti oldalai egyenlők, . Viszont a kör sugara, pedig a kívülről érintkező és körök sugarainak összegével egyenlő, az állítást ezzel igazoltuk. (L. L.) |