A szóban forgó kör (a továbbiakban $k_3$ kör) középpontját jelöljük $O_3$-mal. A $k_1$ és $k_2$ körök középpontjait jelöljük $O_1$-gyel, ill. $O_2$-vel, érintési pontjukat $E$-ve1, a $P_1{P}_2$ egyenest pedig $e$-vel.
Mivel $k_3$ átmegy a $k_1$ kör $P_1$ pontján és érinti $k_1$-et, ezért az érintési pont csak $P_1$ lehet. Emiatt $O_3$ az $O_1{P}_1$ egyenesen van, továbbá rajta van $O_3$ a $P_1{P}_2$ szakasz felező merőlegesén is. Vizsgáljuk meg, hogy ezek az egyenesek vajon mindig metszik-e egymást.
Mivel az $e$ egyenes metszi a $k_1$, $k_2$ köröket, ezért $P_1$, $P_2$ különböző pontok. Ha $O_1{P}_1$ párhuzamos volna a $P_1{P}_2$ szakasz felező merőlegesével (azonos semmiképpen nem lehet vele), akkor merőleges volna $P_1{P}_2$-re, vagyis $e$-re. Ez viszont csak úgy volna lehetséges, ha $e$ $P_1$-ben érintené a $k_1$ kört. Ellentmondásra jutottunk, hiszen az $e$ egyenes metszi $k_1$-et. Az $O_1{P}_1$ egyenes és $P_1{P}_2$ felező merőlegese tehát metsző egyenesek. Ez azt jelenti, hogy a feltételeknek megfelelő $k_3$ kör mindig létezik, és egyértelműen meghatározott.
A továbbiakban két esetet különböztetünk meg.
1. Ha az $e$ egyenes áthalad $O_1$-en és $O_2$-n, akkor a $k_3$ kör $k_2$-t is érinti ($P_2$-ben), mivel ebben az esetben $O_3$ rajta van $e$-n. Ezért a $P_1{P}_2$ szakasz a $k_3$ kör átmérője, és hossza egyenlő a $k_1$, $k_2$ körök átmérőinek összegével (1. ábra).

 

1. ábra

 

 

2. ábra