Feladat: Gy.1962 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1981/október, 71. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Indirekt bizonyítási mód, Egyéb szinezési problémák, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1981/február: Gy.1962

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha két körlemeznek nincs közös pontja, a középpontjaikat összekötő egyenesen levő átmérőiknek sincs közös pontjuk. Vegyük a két átmérő közti szakasz felezőpontját, és húzzunk ezen át az átmérők egyenesére merőleges egyenest. Ez elválasztja a két kört, vagyis az általa létrehozott két félsík közül mindegyik belsejében pontosan egy körlemez van a kettő közül.


Tegyük fel, hogy nem igaz a feladat utolsó állítása, vagyis az azonos színű köröknek nincs közös pontjuk. Rajzoljuk meg mindhárom párhoz a fenti módon megkonstruált elválasztó egyenesüket. Ha ez a három egyenes egy háromszöget fog közre, nevezzük a háromszöget tartalmazó oldalukat belső oldalnak, a másik oldalukat pedig mondjuk külsőnek. Vegyük mindhárom színből a hozzá tartozó egyenes külső oldalán levő kört. Ezeknek nem lehet közös pontjuk, hiszen az őket tartalmazó félsíkoknak sincs közös pontjuk, vagyis nincs olyan pont a síkon, amelyik mindhárom egyenesnek a külső oldalán volna.
Ha a három egyenes egy ponton megy át, csak hat részre vágják a síkot. Akkor is legfeljebb hat részre vágják szét a síkot, ha van köztük párhuzamos, tehát mindig található a három, félsíkpár között három, amelyeknek nincs közös pontjuk. Ha ugyanis a párok tagjai közül minden lehető módon kiválasztunk egyet, összesen 2⋅2⋅2=8-féle hármast állíthatunk össze a félsíkokból, és az egyenesek a síkot pontosan annyi részre vágják, ahánynak ezek közül közös pontja van.
Ezzel megmutattuk, hogy ha a feladat utolsó állítása nem igaz, akkor a feltétel sem teljesülhet. Más szavakkal ez azt jelenti, hogy a feltétel valóban maga után vonja a következményének mondott állítást.
 
Megjegyzések. 1. A mondott bizonyítás érvényes akkor is, ha nem vesszük hozzá a körlemezekhez a határvonalukat. Ekkor a megoldás elején szereplő ,,átmérők közti szakasz'' egy ponttá zsugorodhat, és csak egyetlen egyenes választja el a köröket. Emiatt vizsgáltuk meg a sík három egyenesének összes lehetséges kölcsönös helyzetét, és nem éltünk azzal a kínálkozó lehetőséggel, hogy az egyeneseket kicsit elmozgatva jussunk mindig arra az esetre, amikor azok háromszöget fognak közre.
2. A feladat kitűzésekor lábjegyzetben utaltunk Bárány Imre Helly tételéről írott cikkére (KÖMAL 1981. február, 61-66. oldal). A kapcsolat csupán annyi volt, hogy a szerző a cikkben is megfogalmazta a kitűzésre szánt problémát, mégis volt, aki megelégedett annyival, hogy hivatkozott a cikkre. ,,Megoldását'' természetesen nem fogadtuk el.