Kezdőlap


Feladat:	Gy.1961	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Füzet:	1982/január, 3 - 4. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Irracionális számok és tulajdonságaik, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1981/február: Gy.1961

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A feladat szövege szerint $A = 0,111 111 1111 = \frac{1}{9} \cdot 0,999 999 9999 = = 9 \frac{1}{9} (1 - 10^{- 10})$ , tehát $\sqrt[]{A} = \frac{1}{3} \sqrt[]{(1 - 10^{- 10})}$ , így tulajdonképpen $B = 1 - 10^{- 10}$ négyzetgyökét kell nagy pontossággal meghatároznunk. Az ${(1 - x)}^{2} = 1 - 2 x + x^{2}$ azonosság azt sugallja ( $2 x = 10^{- 10}$ választással), hogy $B$ négyzetgyöke közel van $C = 1 - \frac{1}{2} \cdot 10^{- 10} = (1 - 5 \cdot 10^{- 11})$ -hez, hiszen ennek a négyzete mindössze $x^{2} = 25 \cdot 10^{- 22}$ -vel több $B$ -nél. Nézzük, mennyivel elég csökkentetünk $C$ -t, hogy $\sqrt[]{B}$ -nél kisebb értéket kapjunk. Csökkentsük $C$ -t $y$ -nal, a $C - y < \sqrt[]{B}$ egyenlőtlenség pontosan akkor áll fenn, ha $C^{2} - 2 C y + y^{2} < B$ , azaz ha

\begin{matrix} 25 \cdot 10^{- 22} + 10^{- 10} y + y^{2} < 2 y . \end{matrix}

(1)

Ez (és

y < C

is) biztosan teljesül, ha

y

-nak a

25 \cdot 10^{- 22}

értéket választjuk. Valóban ekkor

10^{- 10} + y < 1

, vagyis

10^{- 10} y + y^{2} < y

, s mindkét oldalhoz

y

-t adva éppen (1)-et kapjuk. Az kaptuk tehát, hogy

\begin{matrix} 1 - 5 \cdot 10^{- 11} - 25 \cdot 10^{- 22} < \sqrt[]{B} < 1 - 5 \cdot 10^{- 11} . \end{matrix}

Ebből

\sqrt[]{A}

értékére alsó korlát

\frac{1}{3} (1 - 5 \cdot 10^{- 11} - 25 \cdot 10^{- 22}) =

= \frac{1}{3} \cdot 0, {\overset{}{\overset{︷}{999 999 999 9}}}_{}^{10 db} 49 {\overset{}{\overset{︷}{999 999 999}}}_{}^{9 db} 75 > 0, {\underset{︸}{333 333 333 3}}_{10 db}^{} 1 {\underset{︸}{6 666 666 66}}_{}^{}_{9 db} 5

Míg a felső korláté

\begin{matrix} \frac{1}{3} (1 - 5 \cdot 10^{- 11}) = \frac{1}{3} \cdot 0, {\overset{}{\overset{︷}{999 999 999 9}}}_{}^{10 db} 5 < 0, {\underset{︸}{333 333 333 3}}_{}^{}_{10 db} 1 {\underset{︸}{6 666 666 66}}_{9 db}^{} 7. \end{matrix}

Ezek szerint

\sqrt[]{A}

értéke húsz tizedes jegyre

\begin{matrix} 0,333 333 333 316 666 666 67. \end{matrix}