A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Jelöljük az , számok legnagyobb közös osztóját -vel, és legyen | | Jelöljük még és legnagyobb közös osztóját -vel. Az tört nyilván egyszerűsíthető -tel, így kapjuk az alakot. Ha , ez tovább egyszerűsíthető -vel, de mással nem, hiszen definíció szerint és legnagyobb közös osztója. Így a feladat állítása azzal ekvivalens, hogy a -vel való egyszerűsítés után a nevező nem vagy lesz, azaz hogy Az és egészek nyilván csak különbözőek lehetnek, így és is különböző egészek. Ha , akkor | | hiszen értéke is, és értéke is legalább . Ha pedig , akkor | | így (1) igazolásához elegendő belátni, hogy Mivel , ha volna -nek és -nek -nél nagyobb közös p prímosztója, azzal és így is osztható volna. Ámde ekkor miatt és is osztható volna -vel, ami nem lehet, mert és legnagyobb közös osztója . Emiatt csak alakú lehet, és azt kell megmutatnunk, hogy . Mivel és legnagyobb közös osztója , nem lehet mindkettő páros. Ha egyik páros, a másik páratlan, és páratlanok, tehát . Ha és páratlanok, akkor -gyel osztva maradékot adnak, hiszen Tehát ebben az esetben -gyel osztva maradékot ad, és osztható -gyel. Emiatt , hiszen már páratlan. Ezzel a feladat állítását beláttuk.
|