Feladat: Gy.1959 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: könnyű
Füzet: 1981/október, 70. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Racionális számok és tulajdonságaik, Maradékos osztás, Gyakorlat, Legnagyobb közös osztó
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1981/február: Gy.1959

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük az a, b számok legnagyobb közös osztóját d-vel, és legyen

A=ab,B=ba,S=A2+B2,T=A2-B2.
Jelöljük még S és T legnagyobb közös osztóját D-vel. Az (a2+b2)/(a2-b2) tört nyilván egyszerűsíthető d2-tel, így kapjuk az S/T alakot. Ha D>1, ez tovább egyszerűsíthető D-vel, de mással nem, hiszen D definíció szerint S és T legnagyobb közös osztója. Így a feladat állítása azzal ekvivalens, hogy a D-vel való egyszerűsítés után a nevező nem +1 vagy -1 lesz, azaz hogy
D<|T|.(1)

Az a és b egészek nyilván csak különbözőek lehetnek, így A és B is különböző egészek. Ha A>B, akkor
T=A2-B2=(2B+(A-B))(A-B)≧3⋅1,
hiszen A-B értéke is, és B értéke is legalább 1. Ha pedig B>A, akkor
|T|=B2-A2=(2A+(B-A))(B-A)≧3⋅1,
így (1) igazolásához elegendő belátni, hogy
D≦2.(2)

Mivel S=T+2B2, ha volna S-nek és T-nek 2-nél nagyobb közös p prímosztója, azzal B2 és így B is osztható volna. Ámde ekkor A2=T+B2 miatt A2 és A is osztható volna p-vel, ami nem lehet, mert A és B legnagyobb közös osztója 1. Emiatt D csak 2k alakú lehet, és azt kell megmutatnunk, hogy k≦1.
Mivel A és B legnagyobb közös osztója 1, nem lehet mindkettő páros. Ha egyik páros, a másik páratlan, S és T páratlanok, tehát D=1. Ha A és B páratlanok, akkor 4-gyel osztva 1 maradékot adnak, hiszen
(2n+1)2=4(n2+n)+1.
Tehát ebben az esetben S 4-gyel osztva 2 maradékot ad, és T osztható 4-gyel. Emiatt D=2, hiszen S/2 már páratlan. Ezzel a feladat állítását beláttuk.