Feladat: Gy.1955 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1981/október, 68 - 69. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Geometriai egyenlőtlenségek, Logikai feladatok, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1981/január: Gy.1955

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A csavart akkor tudjuk a kulccsal kicsavarni, ha egyrészt a csavar feje ,,belemegy'' a kulcsba, másrészt ha nem tud benne forogni. Az utóbbi akkor és csak akkor teljesül, ha a b oldalú négyzet átlója nagyobb, mint az a oldalú szabályos hatszögbe írható kör átmérője, azaz ha b2>a3.
Már csak azt kell megvizsgálnunk, hogy legfeljebb mekkora négyzet helyezhető el az a oldalú szabályos hatszögben. A ,,legnagyobb'' négyzetet azok között a négyzetek között kereshetjük, amelyek középpontja egybeesik a hatszög középpontjával. Bármely, a hatszög által tartalmazott négyzethez ugyanis találunk vele egybevágó középponti helyzetű négyzetet, amelyet a hatszög tartalmaz. Ennek bizonyítása érdekében tükrözzük a hatszög középpontjára a hatszög által tartalmazott tetszőleges négyzetet. A hatszög a tükörképet is tartalmazza, sőt a szabályos hatszög konvexitása miatt a négyzet és tükörképe konvex burkát is. A négyzet középpontos szimmetriája folytán a tükörkép-négyzet az eredetiből eltolással is megkapható. Az eltolás során a négyzet az előbbi konvex burokban mozog. Félúton található a kívánt négyzet (1. ábra).

 

1. ábra
 

Határozzuk meg ezek után a ,,legnagyobb'' négyzetet. A középponti helyzetű négyzetet a középpont körül 90∘-kal elforgatott hatszögnek is tartalmaznia kell. A szabályos hatszögnek és 90∘-os elforgatottjának közös része szabályos tizenkétszög. Ennek leghosszabb átlója adja a ,,legnagyobb'' négyzet átlóját (2. ábra).
 

2. ábra
 

Eszerint
b2=a3cos15∘,
azaz
b=a(3-3).

Eredményeinket összefoglalva: a csavart akkor és csak akkor tudjuk a kulccsal kicsavarni, ha
32<ba≦3-3.