A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A csavart akkor tudjuk a kulccsal kicsavarni, ha egyrészt a csavar feje ,,belemegy'' a kulcsba, másrészt ha nem tud benne forogni. Az utóbbi akkor és csak akkor teljesül, ha a oldalú négyzet átlója nagyobb, mint az oldalú szabályos hatszögbe írható kör átmérője, azaz ha . Már csak azt kell megvizsgálnunk, hogy legfeljebb mekkora négyzet helyezhető el az oldalú szabályos hatszögben. A ,,legnagyobb'' négyzetet azok között a négyzetek között kereshetjük, amelyek középpontja egybeesik a hatszög középpontjával. Bármely, a hatszög által tartalmazott négyzethez ugyanis találunk vele egybevágó középponti helyzetű négyzetet, amelyet a hatszög tartalmaz. Ennek bizonyítása érdekében tükrözzük a hatszög középpontjára a hatszög által tartalmazott tetszőleges négyzetet. A hatszög a tükörképet is tartalmazza, sőt a szabályos hatszög konvexitása miatt a négyzet és tükörképe konvex burkát is. A négyzet középpontos szimmetriája folytán a tükörkép-négyzet az eredetiből eltolással is megkapható. Az eltolás során a négyzet az előbbi konvex burokban mozog. Félúton található a kívánt négyzet (1. ábra).
1. ábra Határozzuk meg ezek után a ,,legnagyobb'' négyzetet. A középponti helyzetű négyzetet a középpont körül -kal elforgatott hatszögnek is tartalmaznia kell. A szabályos hatszögnek és -os elforgatottjának közös része szabályos tizenkétszög. Ennek leghosszabb átlója adja a ,,legnagyobb'' négyzet átlóját (2. ábra).
2. ábra Eszerint azaz Eredményeinket összefoglalva: a csavart akkor és csak akkor tudjuk a kulccsal kicsavarni, ha
|