A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A keresett szám kilenc jegyű. A feltétel a esetben nem jelent megszorítást. Ugyanez a helyzet, ha , ugyanis az első kilenc pozitív egész összege , így a -cel való oszthatóság feltétele szerint valamennyi szóba jövő szám osztható -cel. A továbbiakban a rövidség kedvéért a szám első jegyéből álló számot nevezzük a szám -adik szeletének. Az ötödik szelet akkor osztható -tel, ha az -ra vagy -re végződik. Mivel a -t nem használhatjuk, az ötödik jegy csak lehet. A páros szeletek a feltétel szerint páros számok, így a keresett számban a páros helyeken a négy páros számjegy áll. A esetben ez már elégséges, a esetekben viszont további feltételek is szükségesek. Ismert, hogy egy szám pontosan akkor osztható -gyel, ha az utolsó kettő, -cal pedig akkor, ha az utolsó három jegyéből álló szám osztható -gyel, illetve -cal. Utóbbi esetben azonban a százasok helyén páros szám áll ‐ ez keresett számunk hatodik jegye ‐, így a nyolcadik szelet pontosan akkor lesz -cal osztható, ha a hetedik és a nyolcadik jegyből álló kétjegyű szám is ilyen. A keresett számban a páratlan helyeken páratlan számok állnak, így a fentiek miatt a negyedik és a nyolcadik helyen nem állhat -gyel osztható szám. A harmadik szelet pontosan akkor osztható -mal, ha az első három, és mivel a hatodik jegy páros, a hatodik szelet akkor osztható -tal, ha az első hat számjegy összege osztható -mal. A két feltétel egyidejűleg pontosan akkor teljesül, ha mind az első, mind a második három jegy összege osztható -mal. A -tel való oszthatóság feltételét egyelőre még nem tudtuk felhasználni. Az eddigiek alapján két esetet különböztetünk meg aszerint, hogy a két -gyel osztható páros szám közül melyik áll a hatodik helyen. I. eset. A hatodik jegy a . Ekkor a a második jegy. Az ötödik jegy , így ahhoz, hogy a második három jegy összege -mal osztható legyen, a negyedik helyre a és a közül a -t kell választanunk. Ekkor a nyolcadik jegy a . Számunkról tehát ebben az esetben az alábbiakat tudjuk: Vizsgáljuk meg, hová kerülhet a megmaradt négy páratlan szám! A második helyen álló -es maradékot ad -mal osztva, és mivel az , , , számok egyike sem ad maradékot -mal osztva, így az első és a harmadik helyre nem kerülhet -mal osztható szám, ha azt akarjuk, hogy az első három jegy összege osztható legyen -mal. A nyolcadik jegy , így ahhoz, hogy a hetedik és a nyolcadik jegyből álló szám osztható legyen -cal, a hetedik helyen a -nek kell állnia. Ekkor az utolsó jegy a . Két lehetőségünk van tehát: és . Most már csak a feltétel maradt, erről pedig könnyen látható, hogy egyik esetben sem teljesül. II. eset. A hatodik jegy a . Ekkor a páros számok helye az I. esethez hasonlóan meghatározható, és az alábbi eredményhez jutunk: A -mal való oszthatóság most egyetlen megmaradt páratlan számot sem zár ki az első vagy a harmadik helyről, csak annyit mondhatunk, hogy a két hely közül pontosan az egyiken áll -mal osztható szám. A nyolcadik jegy , így a nyolcadik szelet is kétféleképpen lehet -cal osztható, a hetedik helyen és is állhat. Mindkét esetben négy lehetőségünk adódik. Ha a hetedik jegy , akkor ezek: | |
Könnyen ellenőrizhető, hogy a hetedik szelet egyik esetben sem osztható -tel. Ha a hetedik jegy , akkor az alábbi számok adódnak: | |
Itt találunk megoldást: az utolsó szám hetedik szelete is osztható -tel: . Egyetlen olyan szám van tehát, amelyre teljesülnek a feladat feltételei, s ez . |