Kezdőlap


Feladat:	Gy.1947	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1981/május, 206. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Geometriai egyenlőtlenségek, Húrsokszögek, Gyakorlat, Síkgeometriai bizonyítások
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1980/december: Gy.1947

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Kössük össze a kör középpontját a hétszög mindegyik csúcsával. Így egyenlő szárú háromszögeket kapunk.

Mivel a kör középpontja a sokszög belsejében van, a hétszög valamennyi háromszöget tartalmazza. Húzzuk meg az egyenlő szárú háromszögekben az alaphoz tartozó magasságvonalakat és az egyenlő nagyságú csúcsszögeket jelöljük az

A B C

ugyanazon betűjével, pl. az

A_{1} O A_{2}

háromszöggel kezdve

A, B, C, ..., G

-vel. Jelölésünk szerint az

A_{1}

csúcsnál levő szög

A_{1} ∢ = 360^{\circ} - (A + G + 2 \cdot 90^{\circ}) = 180^{\circ} - (A + G)

. Hasonlóképpen

A_{3} ∢ = 180^{\circ} - (B + C)

és

A_{5} ∢ = 180^{\circ} - (E + D)

. A három szög összege tehát

\begin{matrix} 3 \cdot 180^{\circ} - (A + B + C + D + E + G) = 3 \cdot 180 - (180^{\circ} - F), \end{matrix}

hiszen

2 (A + B + C + D + E + F + G) = 360^{\circ}

. Megmutatjuk, hogy

F < 90^{\circ}

. Ugyanis ha

F ≧ 90^{\circ}

lenne, akkor a körülírt kör középpontja feltevéseinkkel ellentétben rajta lenne a sokszög

A_{6} A_{7}

oldalán vagy a sokszögön kívül lenne. Tehát

A_{1} ∢ + A_{3} ∢ + A_{5} ∢ = 2 \cdot 180^{\circ} + F < 360^{\circ} + 90^{\circ} = 450^{\circ}