Kezdőlap


Feladat:	Gy.1944	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Füzet:	1981/május, 204 - 205. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elsőfokú diofantikus egyenletek, Egyenletek, Tizes alapú számrendszer, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1980/december: Gy.1944

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Mivel $S (n) ≧ 0$ , így $n ≦ 1981$ , tehát $S (n) < 1 + 9 + 9 + 9 = 28$ . Így $n > 1981 - 28 = 1953$ . Ez viszont azt jelenti, hogy $S (n) ≧ 1 + 9 + 6 = 16$ , tehát $n ≦ 1981 - 16 = 1965$ .
Ismeretes, hogy egy $10$ -es számrendszerben felírt szám $9$ -cel osztva ugyanazt a maradékot adja, mint a jegyeinek összege. Mivel $1981$ $9$ -es maradéka $1$ , így $n$ és $S (n)$ 9-cel osztva csak $5$ maradékot adhat. $1954$ és $1965$ között egyetlen ilyen szám van, az $1958$ . Erre $S (1958) = 23$ , és $1958 + 23 = 1981$ , tehát ez a feladat egyetlen megoldása.

II. megoldás. Mivel

n ≦ 1981

, így

n

legfeljebb négyjegyű, tehát felírható

1000 x + 100 y + 10 z + v

alakban, ahol

x

y

z

és

v

0

és

9

közé eső természetes számok, az

n

jegyei. Ekkor

S (n) = x + y + z + v

.
A feltétel szerint

\begin{matrix} 1001 x + 101 y + 11 z + 2 v = 1981. \end{matrix}

(1)

Mivel

0 ≦ 101 y + 11 z + 2 v ≦ 101 \cdot 9 + 11 \cdot 9 + 2 \cdot 9 = 1026

, így (1)-ből

1981 - 1026 = 955 ≦ 1001 x ≦ 1981

, tehát

\begin{matrix} 0 < \frac{955}{1001} ≦ x ≦ \frac{1981}{1001} < 2. \end{matrix}

A kapott feltétel a természetes számok közül egyedül az

x = 1

-re teljesül. Ezt (1)-be helyettesítve:

\begin{matrix} 101 y + 11 z + 2 v = 980. \end{matrix}

(2)

Mivel

0 ≦ 11 z + 2 v ≦ 11 \cdot 9 + 2 \cdot 9 = 117

, így (2)-ből

980 - 117 = 863 ≦ 101 y ≦ 980

tehát,

\begin{matrix} 8 < \frac{893}{101} ≦ y ≦ \frac{980}{101} < 10. \end{matrix}

A kapott feltétel a természetes számok közül egyedül

y = 9

-re teljesül. Ezt (2)-be helyettesítve

\begin{matrix} 11 z + 2 v = 71 \end{matrix}

(3)

Mivel

0 ≦ 2 v ≦ 2 \cdot 9 = 18

, így (3)-ból

71 - 18 = 53 ≦ 11 z ≦ 71

, tehát

\begin{matrix} 4 < \frac{53}{11} ≦ z ≦ \frac{71}{11} < 7. \end{matrix}

A kapott feltétel a

z = 5

és a

z = 6

természetes számokra is teljesül, utóbbi esetben viszont

2 v = 71 - 66 = 5

volna, ami nem lehet, mert

v

egész. Ha

z = 5

, akkor

2 v = 71 - 55 = 16

, tehát

v = 8

.
Így

x = 1

y = 9

z = 5

v = 8

, tehát

n = 1958