Kezdőlap


Feladat:	Gy.1943	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1981/május, 203 - 204. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Racionális számok és tulajdonságaik, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1980/december: Gy.1943

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A gép veheti a $100$ reciprokát, és a kapott $1 / 100$ -ot akárhányszor hozzáadhatja a $100$ -hoz, hiszen így mindig két különböző, már rendelkezésére álló számot ad össze. Ha már tízezerszer hozzáadta a $100$ -hoz az $1 / 100$ - ot, az utolsó összeg épp

\begin{matrix} 100 + 10 000 / 100 = 200 \end{matrix}

lesz. Vegye most ennek a reciprokát, és azt

198

-szor adja hozzá az

1 / 100

-hoz. Így kapja az

\begin{matrix} 1 / 100 + 198 / 200 = 1 \end{matrix}

számot, majd ha ehhez

100

-szor hozzáadja az

1 / 100

-ot, a kettőt.
Innen már gyorsabban haladhat előre. A kettőhöz az egyet adogatva megkaphatja az összes pozitív egész számot. Ha pedig a pozitív egész

k

szám reciprokához a

2 k

reciprokát

2 (m - 1)

-szer hozzáadja, az

\begin{matrix} \frac{1}{k} + \frac{2 (m - 1)}{2 k} = \frac{m}{k} \end{matrix}

számot kapja. Mivel itt

m

és

k

tetszés szerinti pozitív egészek, az eljárás minden pozitív racionális szám előállítására alkalmazható.
Mást nem is állíthat elő a gép, hiszen a megengedett lépései során pozitív racionális számokból csak pozitív racionális számokat kaphat, és az első szám, ami rendelkezésére áll, pozitív racionális szám.

Megjegyzés. Többen azt állították, hogy a gép a pozitív valós számokat is elő tudja állítani. Voltak, akik azzal érveltek, hogy azokat már a racionális számok meghatározzák. Akik tanulták az iskolában az ún. Dedekind szeletet, sok érvet tudtak emellett felhozni. Valóban, ha a racionális számokat be tudjuk festeni pirosra és kékre úgy, hogy minden piros-kék párból a piros kisebb a kéknél, akkor e festés mindig meghatároz egy és csakis egy valós számot. Mondhatnánk persze most azt, hogy senki sem mondta, hogy a gép festeni is tud. Mivel azonban vég nélkül működhet, rendre előállíthatja mondjuk minden

k

-hoz azokat az

m / k, (m + 1) / k

számokat, amelyekre

\begin{matrix} {(\frac{m}{k})}^{2} < 2 < {(\frac{m + 1}{k})}^{2} . \end{matrix}

A feladat szövege viszont világosan megmondja, mit tud a gép "előállítani''. Igaz ugyan, hogy ezek a racionális számok tetszés szerinti pontossággal megközelítik a

\sqrt[]{2}

-t, sőt sorozatuk határértéke éppen

\sqrt[]{2}

, a "tetszés szerinti megközelítés'', "határérték'' fogalmak nincsenek benne a gép szótárában. Ezért a gép ugyanúgy nem tudja az összes pozitív valós számot előállítani, mint a negatív racionális számokat. Pedig az utóbbiak előállítása még egyszerűbb volna, "csak''

(- 1)

-gyel kellene tudni megszorozni az előállított számokat.