Kezdőlap


Feladat:	Gy.1942	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Füzet:	1981/május, 203. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Irracionális egyenletek, Gyakorlat, Nevezetes azonosságok
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1980/december: Gy.1942

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Oldjuk meg az alábbi egyenletet:

\begin{matrix} \sqrt[^{3}]{x} + \sqrt[^{3}]{1 - x} = 2. \end{matrix}

(1)

Megoldás: Emeljük köbre mindkét oldalt. Ha a bal oldalon az

\begin{matrix} {(a + b)}^{3} = a^{3} + b^{3} + 3 a b (a + b) \end{matrix}

azonosságot használjuk, akkor egyenletünk rendezés után így alakul:

\begin{matrix} 3 \cdot \sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{1 - x} \cdot (\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 - x}) = 7. \end{matrix}

(2)

Vegyük észre, hogy a zárójelben éppen (1) bal oldala áll, ami a feltétel szerint

2

. Így

\begin{matrix} 3 \cdot \sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{1 - x} \cdot 2 = 7, ahonnan \end{matrix}

\begin{matrix} \sqrt[3]{x (1 - x)} = \frac{7}{6} . \end{matrix}

(3)

x < 0

, vagy

x > 1

, akkor

x (1 - x) < 0

, ha pedig

0 ≦ x ≦ 1

, akkor

1 ≧ 1 - x ≧ 0

is fennáll, tehát

x (1 - x) < 1

. Így a bal oldalon mindig

1

-nél kisebb szám köbgyöke áll, ami ugyancsak kisebb

1

-nél. Tehát az egyenletnek nincs megoldása a valós számok körében.
Megjegyzés. Ha (3)-t köbre emeljük, akkor rendezés után az

x^{2} - x + {(\frac{7}{6})}^{3} = 0

egyenlethez jutunk. Ennek diszkriminánsa negatív, így az egyenletnek nincs valós megoldása.