Feladat:	Gy.1941	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1981/szeptember, 16. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Beírt gömb, Hossz, kerület, Szabályos tetraéder, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1980/november: Gy.1941

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Jelöljük a tetraéder csúcsait $A$, $B$, $C$ és $D$-vel. Mivel a tetraéder szabályos, bármely magasságvonala a szemközti szabályos háromszöget a körülírt körének középpontjában metszi. A magasságvonal körül ${120}^{\circ }$-kal elforgatva a tetraédert, önmagába megy át. Ez a forgatás a tetraéder köré, a tetraéderbe írt gömböt, valamint az élérintő gömböt is önmagába viszi át, emiatt mindhárom gömbnek a középpontja a tetraéder magasságpontja, $M$. Jelöljük a $D$ csúcsnak az $ABC$ síkra való merőleges vetületét $D\text{'}$-vel. A $DD\text{'}$ magasságvonal tartalmazza a tetraéder $M$ magasságpontját és $MD\text{'}$ a tetraéderbe írható gömb sugarával egyenlő. Érintse az élérintő gömb az $AD$ élt $F$-ben, a $BC$ élt $E$-ben. Így $MF\perp AD$ és $ME\perp BC$, továbbá $ME=MF$ és nyilván $F$ felezi $AD$-t, $E$ felezi $BC$-t, hiszen $MD=MA=MC=MB$ a tetraéder köré írt gömb sugarával egyenlő. A $DEA$ háromszög egyenlő szárú, $\left(ED=EA\right)$ és $MF$ merőlegesen felezi $AD$-t, így kell, hogy átmenjen a szemközti csúcson, $E$-n, azaz $E$, $M$ és $F$ egy egyenesbe esik. Ebből következik, hogy az $EMD\text{'}$ és $DMF$ háromszögek $M$ csúcsnál levő szögei csúcsszögek, tehát egyenlők, s mivel $MD\text{'}E$ és $MFD$ szögük derékszög, így hasonlóak és megfelelő oldalaikra $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{EM}{MD\text{'}}=\frac{DM}{MF}\mathrm{,}ME=MF\text{miatt}E{M}^2=MD\text{'}\cdot DM\mathrm{,}}\end{array}$ amint azt igazolni akartuk.