|
Feladat: |
Gy.1939 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Bogár Á. , Csúri Piroska , Görög Zita , Hetyei Judit , Jaklis S. , Juhász Cs. , Katona Gy. , Kocsis Csilla , Miszori I. , Náray M. , Párkányi I. , Peták T. , Szederkényi Edit , Törőcsik J. , Végh Katalin , Vindics I. , Zieger B. |
Füzet: |
1981/május,
201 - 203. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Kör (és részhalmaza), mint mértani hely, Parabola, mint mértani hely, Gyakorlat, Mértani középtételek derékszögű háromszögekben |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1980/november: Gy.1939 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. nyilván különbözik -tól, különben nem rajzolható meg. Kössük össze -t -mel, és legyen -nak a -en levő merőleges vetülete . Ebből az -ből az szakasz is, az szakasz is derékszög alatt látszik, tehát az feletti , és az feletti Thalész-körön is rajta van. Mindkét kör átmegy -n is, emiatt az az egyenes, amelyik -t metszi ki -ből. A közös befogójú , derékszögű háromszögek úgy helyezkednek el, hogy az egyik átfogója a másikban magasságvonal, és mindkettő hasonló az háromszöghöz.
Emiatt a két háromszög megfelelő befogóinak aránya egyenlő Mivel is, is az egyenesnek ugyanazon az oldalán van, mint , a -n átmenő, -vel párhuzamos egyenes akkor metszi az szakaszt, ha , ami (1) miatt azzal ekvivalens, hogy . Nyilván ugyanekkor metszi ez az egyenes -t is, és ahol a , , pontok -n levő vetülete. Ha ugyanis azonos -mel, akkor és is azonos -mel, és (2) triviális; különben és az -ra tükrösen helyezkedik el, és (2) az, derékszögű háromszögekben az , befogónak az átfogóra eső vetületére vonatkozó ismert összefüggés miatt igaz. Az (1) és (2) összefüggések, valamint miatt , vagyis a , pontok az körüli, -n átmenő körnek -ra tükrösen elhelyezkedő pontjai. Mivel nem lehet azonos -val, , egyike sem lehet -vel, sem annak -ra vonatkozó tükörképével azonos. Megmutatjuk, hogy minden más , pontpár előállítható alkalmas megválasztásával. Legyen ugyanis a , pontoknak -n levő közös vetülete, és mérjük fel az félegyenesre az szakaszt. Tudjuk már, hogy ebből az -ből kiindulva -nek olyan -ra szimmetrikus pontpárját kapjuk, amelyek -n levő vetületére . Mivel is, is az szakaszon van, ebből következik, hogy és azonosak, tehát -ből kiindulva éppen az adott , pontpárt kapjuk. II. megoldás. Válasszuk a koordináta-rendszer tengelyének az egyenest, origójának az pontot, és használjuk változtatás nélkül az I. megoldásban bevezetett jelöléseket. A és körök egyenlete
ahol az abszcisszáját, pedig a ordinátáját jelöli. Tudjuk, hogy a két kör metszi egymást, hiszen az origón mindkettő átmegy, de itt nem érintik egymást. A két kör közös pontjainak ordinátáira (3) is, (4) is teljesül, tehát ezekre a két egyenlet különbségeként kapott összefüggés is érvényes. Ez mindig egyenes egyenlete, hiszen . Ez tehát a két kör metszéspontjain átmenő egyenes egyenlete. A pontnak, mint a egyenes minden pontjának, az ordinátája , tehát abszcisszája . (Itt , hiszen az -tól különböző pont.) Ugyanennyi a , pontok abszcisszája is, így ezek ordinátája (3) alapján Ebből kiolvasható, hogy a , metszéspontok akkor jönnek létre, ha és ha létrejönnek, akkor (3) alapján mindkettő koordinátáira teljesül, ami az origó körül rajzolt sugarú kör egyenlete. Tudjuk, hogy a , pontok abszcisszája alakú, tehát nem lehet . Ha különben , a (6) egyenletű kör egyenlő abszcisszájú pontjai, és közös abszcisszájukat jelöli, akkor az értékből kiindulva ugyancsak abszcisszájú pontot kapunk, és azon át visszajutunk a , pontokhoz. Tehát a , pontok az középpontú, -n átmenő kör -ra szimmetrikus pontjai, és lehetnek azonosak, de a pár nem lehet a , párral azonos. |
|