Kezdőlap


Feladat:	Gy.1938	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Füzet:	1981/április, 163. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Hossz, kerület, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1980/november: Gy.1938

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük az első két összegben szereplő magasságokat $m_{a}$ val és $m_{b}$ -vel, illetve $m_{b}$ -vel és $m_{c}$ -vel. Akkor a harmadik $m_{a} + m_{c}$ -vel egyenlő, és a feladat szerint

\begin{matrix} \begin{matrix} m_{a} + m_{b} = 5 x \\ m_{b} + m_{c} = 7 x \\ m_{a} + m_{c} = 8 x \end{matrix} \end{matrix}

ahol

x

ismeretlen pozitív szám. Adjuk össze a három egyenletet és osszuk el a kapott összeget

2

-vel:

\begin{matrix} m_{a} + m_{b} + m_{c} = 10 x . \end{matrix}

Ha ebből rendre kivonjuk a fenti egyenleteket, kapjuk, hogy

\begin{matrix} m_{a} = 3 x, m_{b} = 2 x, m_{c} = 5 x . \end{matrix}

Ha ezeket a mennyiségeket rendre megszorozzuk az egyes magasságokkal szemközti oldalak hosszával, ugyanazt az értéket kapjuk:

\begin{matrix} a m_{a} = b m_{b} = c m_{c} = 2 t, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} 3 a x = 2 b x = 5 c x = 2 t, \end{matrix}

ahol

t

a háromszög területét jelöli. Az utóbbi összefüggés szerint

\begin{matrix} a = \frac{2 t}{3 x}, b = \frac{2 t}{2 x}, c = \frac{2 t}{5 x}, \end{matrix}

tehát a háromszög oldalainak az aránya:

\begin{matrix} a : b : c = \frac{2 t}{3 x} : \frac{2 t}{2 x} : \frac{2 t}{5 x} = 10 : 15 : 6. \end{matrix}