Kezdőlap


Feladat:	Gy.1937	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1981/április, 162. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Oszthatóság, Egész együtthatós polinomok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1980/november: Gy.1937

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mivel három szomszédos egész szám közül az egyik mindig osztható $3$ -mal, ha $n \geq 3$ , a

\begin{matrix} p (x) = (x - 1) x^{n - 2} (x + 1) = x^{n} - x^{n - 2} \end{matrix}

n

-edfokú polinom minden egész helyen

3

-mal osztható értéket vesz föl, együtthatói azonban nem mind oszthatók

3

-mal. A mondott állítás tehát csak

n < 3

mellett teljesülhet. Ekkor

\begin{matrix} p (x) = A x^{2} + B x + C \end{matrix}

alakú, ahol

A

B

C

egészek. Legyen mondjuk

m

az az egész, amelyre

p (m - 1)

p (m)

p (m + 1)

osztható

3

-mal. Akkor a

\begin{matrix} p (m + 1) - p (m) = (2 m + 1) A + B \\ p (m) - p (m - 1) = (2 m - 1) A + B \end{matrix}

számok is, sőt ezek különbsége,

2 A

is osztható

3

-mal. Tehát

A

osztható

3

-mal, emiatt az előbbi

2 (m + 1) A + B

összeg csak akkor osztható

3

-mal, ha

B

3

-mal osztható. Így viszont

p (m)

csak akkor osztható

3

-mal, ha

C

osztható

3

-mal. A mondott állítás tehát

n = 0

1

2

mellett igaz.