Ha egy egész szám $6$-tal osztva $r$ maradékot ad, akkor a négyzete ugyanazt a maradékot adja $6$-tal osztva, mint $r^2$. Ha ugyanis $n=6k+r$, akkor $n^2=36k^2+12kr+r^2$, és az első két tag osztható $6$-tal.
Mivel $r$ lehetséges értékei $0$; $1$; $2$; $3$; $4$; $5$, így $r^2$ lehetséges maradékai $6$-tal osztva $0$; $1$; $2$; $3$; $4$. Innen látható, hogy egy négyzetszám $6$-tal osztva valóban nem adhat $2$ maradékot.
A $3$ maradék viszont fellép, valahányszor $r=3$. Így a $6k+3$ alakú számok négyzete is $3$ maradékot ad $6$-tal osztva, ilyen szám pedig végtelen sok van.