| Feladat: | Gy.1930 | Korcsoport: 14-15 | Nehézségi fok: átlagos |
| Füzet: | 1981/március, 115 - 116. oldal |  PDF | MathML |
|
| Témakör(ök): | Háromszögek szerkesztése, Gyakorlat, A háromszögek nevezetes pontjai | ||
| Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1980/október: Gy.1930 | ||
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megoldás. Jelöljük -val az adott csúcsot, -sel a súlypontot és -val a háromszög köré írt körének a középpontját. Az távolság a körülírt kör sugara, így a kört rögtön meg tudjuk rajzolni. Az súlyvonal egyeneséről tudjuk, hogy a háromszög szemközti oldalát, annak felezőpontjában metszi, továbbá hogy . Az pontot tehát meg tudjuk szerkeszteni. A háromszög , csúcsait az pontban az egyenesre állított merőleges metszi ki a körből, hiszen a háromszög körülírt körének középpontját éppen az oldalfelező merőlegeseinek metszéspontja adja. Ennek alapján a keresett háromszög általában könnyen megszerkeszthető.  A szerkeszthetőség természetes feltétele, hogy a keresett háromszög csúcsa -tól és -től is különbözzön. ( és lehetnek azonosak, ekkor szabályos háromszöget kapunk.) Ha sem -val, sem -sel nem azonos, a háromszög köré írt köre és a oldal felezőpontja mindig egyértelműen előállítható. Ha azonban az -val azonosnak adódik (vagyis eredetileg az szakasz -hoz közelebbi harmadolópontja volt), akkor a háromszög oldala -nak tetszőleges, de -n nem átmenő átmérője lehet. Különben a szerkesztés befejezésének a sikere azon múlik, hogy a -n belülre kerül-e, vagyis teljesül-e rá. Ez azt jelenti, hogy -nak az szakasz felező merőlegesének -t nem tartalmazó partjára kell esnie.  Könnyen látható, hogy az szakaszt annak -hez közelebb levő negyedelő pontjában metszi. A szerkeszthetőség feltétele tehát az, hogy az szakasz -hez közelebbi negyedelő pontján átmenő egyenes -t nem tartalmazó oldalán legyen. Mivel a megszerkesztett háromszögben az súlyvonal harmadoló pontja, valóban súlypont, és természetesen a körülírt kör középpontja. |