Feladat: Gy.1929 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1981/március, 114 - 115. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Magasabb fokú diofantikus egyenletek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1980/október: Gy.1929

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha a számok között szerepel a 0, akkor szorzatuk is 0. Így ha összegük is az, akkor mind a hat szám 0, hiszen számaink nem negatívak.
A továbbiakban feltesszük, hogy a hat szám mindegyike pozitív. Jelölje őket növekvő (nem csökkenő) sorrendben rendre: A, B, C, D, E, F. A feltétel szerint:

A⋅B⋅C⋅D⋅E⋅F=A+B+C+D+E+F.(1)

Ha mind a hat szám egyenlő, akkor innen A6=6A, azaz A>0 miatt A5=6 következik. Ennek az egyenletnek nincs megoldása a természetes számok körében, tehát föltehető, hogy számaink között vannak különbözők. Ekkor a hat szám összegét határozottan növeljük, ha mind a hat tag helyett F-et írunk. Így (1) figyelembevételével:
A⋅B⋅C⋅D⋅E⋅F<6F
és mivel F>0 ezért
P=A⋅B⋅C⋅D⋅E<6.

Három 1-nél nagyobb természetes szám szorzata legalább 8, így mivel P pozitív, tényezői közül legfeljebb kettő lehet 1-nél nagyobb. Tehát A=B=C=1.
Ha D is 1, akkor (1)-ből
4+E+F=E⋅F.
Mindkét oldalhoz 1-et adva átrendezés után szorzattá alakíthatunk:
5=E⋅F-E-F+1=(E-1)(F-1).
Tudjuk, hogy F>1, így (E-1) is pozitív. Az 5 csak 1⋅5-ként bontható két természetes szám szorzatára, tehát a nagyságviszonyok figyelembevételével (E-1)=1 és (F-1)=5. Innen E=2 és F=6.
Ha D≥2, akkor E<6/D, így D=E=2. Ekkor (1)-ből
4F=7+F.
Ennek az egyenletnek azonban nincs megoldása a természetes számok körében.
Így a feladatnak két megoldása van:
A=B=C=D=E=F=0,illetveA=B=C=D=1;E=2 és F=6.



 
Megjegyzés. A feladat általánosítható 6 helyett k≥2 darab számra. Könnyen látható, hogy
n1=n2=...=nk-2=1;nk-1=2;nk=k megoldás.(2)
Az azonban általában nem igaz, hogy ez az egyetlen, a triviálistól különböző megoldás. Ha k=5, akkor n1=n2=n3=1; n4=n5=3 is megoldás. Fölvethető hogy k mely értékeire nem lesz az egyenletnek (2)-től különböző típusú nem triviális megoldása.