Kezdőlap

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A sorozat elemeinek szorzata 8, így a 0 nem eleme a sorozatnak. Ha $a_{n}$ -nel jelöljük a sorozat $n$ -edik elemét, akkor a feltétel szerint

\begin{matrix} a_{n + 2} = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} . \end{matrix}

Ezt felhasználva a sorozat elemei egymás után kifejezhetők az első és a második elem segítségével:

\begin{matrix} a_{3} = \frac{a_{2}}{a_{1}}, a_{4} = \frac{a_{3}}{a_{2}} = \frac{1}{a_{1}}, a_{5} = \frac{a_{4}}{a_{3}} = \frac{1}{a_{2}}, \\ a_{6} = \frac{a_{5}}{a_{4}} = \frac{a_{1}}{a_{2}}, a_{7} = \frac{a_{6}}{a_{5}} = a_{1}, a_{8} = \frac{a_{7}}{a_{6}} = a_{2} . \end{matrix}

Mivel

a_{7} = a_{1}

és

a_{8} = a_{2}

, ezért a továbbiakban is a sorozat első hat eleme ismétlődik ugyanabban a sorrendben, azaz

a_{n + 6} = a_{n}

. Másrészt mivel az első hat elem szorzata 1, így a periodicitás miatt az első

6 k

elem szorzata is 1 tetszőleges

k

mellett. Az első 40 elem szorzata tehát nem más, mint

a_{37} \cdot a_{38} \cdot a_{39} \cdot a_{40}

, ami viszont

\begin{matrix} a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} = a_{2}^{2} / a_{1} -gyel egyenlő . \end{matrix}

Mivel

80 = 13 \cdot 6 + 2

, az első 80 elem szorzata nem más, mint

a_{1} \cdot a_{2}

. Így a sorozat első két tagjára az alábbi egyenletrendszert kapjuk:

\begin{matrix} \frac{a_{2}^{2}}{a_{1}} = 8, a_{1} a_{2} = 8. \end{matrix}

A két egyenletet összeszorozva kapjuk, hogy

a_{2}^{3} = 64

, vagyis

a_{2} = 4

, és így

a_{1} = 2

. Tehát a sorozat első eleme 2, a második pedig 4.