Kezdőlap


Feladat:	Gy.1927	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Füzet:	1981/március, 113. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Abszolútértékes egyenlőtlenségek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1980/október: Gy.1927

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Bizonyítsuk be, hogy ha $∣ x ∣ < 1$ és $∣ y ∣ < 1$ , akkor

\begin{matrix} ∣ x - y ∣ < ∣ 1 - x y ∣ . \end{matrix}

(1)

I. megoldás. A négyzetfüggvény szigorúan monoton növő a nemnegatív számok halmazán, így elég belátni, hogy

\begin{matrix} {(| x - y |)}^{2} < {(| 1 - x y |)}^{2} . \end{matrix}

(2)

Felhasználva, hogy tetszőleges

t

számra

| t |^{2} = t^{2}

, (2)-ben a négyzetre emeléseket elvégezve; és az egyenlőtlenséget rendezve kapjuk, hogy

\begin{matrix} 0 < (1 - x^{2}) (1 - y^{2}) . \end{matrix}

Itt

| x | < 1

és

| y | < 1

miatt a jobb oldalon álló szorzat mindkét tényezője valóban pozitív.

II. megoldás. (1)-ben

x

és

y

szerepét felcserélve ugyanazt az egyenlőtlenséget kapjuk, így feltehetjük, hogy

x \geq y

. Ekkor

| x - y | = x - y

, továbbá

x y < 1

miatt

| 1 - x y | = 1 - x y

. Ezek alapján a bizonyítandó állítás átrendezések után az

\begin{matrix} x (1 + y) < 1 + y \end{matrix}

egyenlőtlenség. Ez nyilvánvalóan igaz, hiszen

1 + y > 0

és

x < 1

. (R. Zs.)