A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Próbáljunk meg tetraédert építeni az adott élekből. Nem szerepelhetnek ugyanabban a háromszögben a 2 cm-es és a 8 cm-es élek, hiszen a 2 cm-es élt a többi négy közül még a legnagyobb, a 6 cm-es él sem egészíti ki 8 cm-nél hosszabbra, márpedig egy háromszögben két oldal összege nagyobb a harmadiknál. Jelöljük a 2 cm-es él végpontjait -val, -vel, a 8 cm-eséit -vel, -vel, tudjuk már, hogy ezek különbözőek.
A többi 4 él mindegyikének az egyik végpontja az , , a másik a , pontok közül való. Válasszuk úgy a betűzést, hogy a 3 cm-es él két végpontja és legyen. Az háromszög harmadik oldala, most már csak a 4 cm-es él lehet, hiszen a másik kettő mellett az cm-es összeg túl kicsi lenne. Ugyancsak kevés az 5 cm-es él az háromszög harmadik oldalának, így , . Ezek mellett az háromszögben , cm cm, a háromszögben cm, cm, tehát a keresett tetraéder valóban létrejön. Tegyük fel most, hogy az adott elemekből ketten is felépítették a keresett tetraédert. Betűzzük az első tetraéder csúcsait a fenti meggondolás szerint -val, -vel, -vel, -vel, a másodikét -vel, -vel, -vel, -vel, ekkor tehát | | (1) | A második lapja egybevágó az első lapjával, tehát ráhelyezhető úgy, hogy az -ra, a -re, a -re kerüljön. Ezután a pont rendre ugyanolyan messze lesz az , , pontoktól, mint a . Ha és azonosak, készen vagyunk, ha nem, tekintsük a szakaszt. Az , , pontok mindegyike egyenlő távolságra van ennek a végpontjaitól, tehát ezek a pontok benne vannak a szakasz felezőpontján átmenő, a szakaszra merőleges síkban. Így ha az tetraédert -re tükrözzük, az átmegy az tetraéderbe. A két tetraéder tehát mindig egybevágó.
Erdős László (Budapest, Berzsenyi D. Gimn., I. o. t.)
Megjegyzés. Megoldásunk második fele általános érvényű: (1) teljesülése mindig maga után vonja az , tetraéderek egybevágóságát. Ha azonban a feladatban például 5, 6, 8 helyett 10, 5, 10, 6, 10, 8 állna, a feladat állítása már nem volna igaz, hiszen ekkor a -ből induló élek tetszés szerint átrendezhetőek. |