Kezdőlap


Feladat:	Gy.1924	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1981/január, 21 - 22. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek szerkesztése, Gyakorlat, Körülírt kör
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1980/szeptember: Gy.1924

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a háromszög csúcsait $A$ , $B$ , $C$ -vel, ahol $A B = B C$ , a körülírt kör középpontját $O$ -val. Forgassuk el $A$ körül az $O$ pontot úgy, hogy az $A B$ egyenes $A$ -n túli meghosszabbítására kerüljön, és jelöljük új helyzetében $O'$ -vel.

O' B O

háromszög megszerkeszthető, hiszen

O' B

éppen a szár és a körülírt kör sugarának összegével egyenlő, és az

A O' O

szög nagysága is kiszámolható. Mivel

A B C

egyenlő szárú,

A B O ∢ = 90^{\circ} - α

. Az

O A O'

háromszög is egyenlő szárú (a forgatás miatt), ezért

A O O' ∢ = O O' A ∢

. Az

A O B

háromszög ugyancsak egyenlő szárú,

O B A ∢ = B A O ∢ = 90^{\circ} - α = A O O' ∢ + O O' A ∢

, ahonnan

A O' O ∢ = \frac{90^{\circ} - α}{2}

. (Mindez akkor is igaz, ha az

A B C

háromszög tompaszögű, csak ekkor

O

a háromszögön kívül van.)

Ennek alapján a szerkesztés menete a következő:

α

ismeretében megszerkesztjük a

90^{\circ} - α

és

\frac{90^{\circ} - α}{2}

szögeket. Majd az adott szakasszal és ezekkel a szögekkel háromszöget szerkesztünk. Ezzel megkaptuk a keresett háromszög egyik csúcsát

B

-t, és a körülírt kör középpontját

O

-t. A

B O

sugarú kör kimetszi az adott szakaszból az

A

csúcsot, melyet

B O

egyenesre tükrözve megkapjuk az egyenlő szárú háromszög

C

csúcsát. A szerkesztés menetéből következik, hogy a kapott háromszög eleget tesz a követelményeknek.
A szerkeszthetőség feltétele, hogy

0 < α < 90^{\circ}

legyen.