Kezdőlap


Feladat:	Gy.1921	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1981/január, 20. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenlőtlenségek, Gyakorlat, Algebrai átalakítások
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1980/szeptember: Gy.1921

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mindkét oldalt $a b c$ -vel szorozva, a kapott

\begin{matrix} a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq 2 b c + 2 a c - 2 a b \end{matrix}

egyenlőtlenség

a b c > 0

miatt ekvivalens az eredetivel. Ezt átrendezve kapjuk, hogy

\begin{matrix} a^{2} + b^{2} + c^{2} - 2 b c - 2 a c + 2 a b \geq 0 . \end{matrix}

A bal oldalon éppen

{(a + b - c)}^{2}

áll, így állításunk következik abból, hogy egy szám négyzete nem lehet negatív. Az is látható, hogy (1)-ben pontosan akkor van egyenlőség, ha

a + b = c

Megjegyzés. A bizonyításban csak annyit használtunk föl

a

-ról,

b

-ről és

c

-ről, hogy szorzatuk pozitív. Így (1) akkor is igaz, ha

a

b

és

c

közül pontosan kettő negatív. Ha a három szám között

1

negatív van, vagy mindhárom negatív, (1)-ben a fordított irányú egyenlőtlenség igaz.