Kezdőlap


Feladat:	Gy.1918	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Füzet:	1981/január, 18. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Logikai feladatok, Maradékos osztás, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1980/szeptember: Gy.1918

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük $T$ -vel a keresett telefonszámot. $T$ 3-mal osztva $0$ , $1$ vagy $2$ maradékot adhat. Tudjuk azt is, hogy $T$ páratlan, tehát $4$ -gyel osztva páratlan maradékot ad. Eszerint a szóban forgó közös maradék $1$ .
A feltételből következik, hogy $T - 1$ osztható $3$ -mal, $4$ -gyel, $7$ -tel, $9$ -cel, $11$ -gyel és $13$ -mal. Egyelőre csak annyit használunk föl, hogy $T - 1$ osztható $7 \cdot 11 \cdot 13 = 1001$ -gyel, ugyanis $1001$ hatjegyű többszörösei $A B C A B C$ alakúak. Így $A = 7$ , $B = 2$ , tehát

\begin{matrix} T - 1 = 72 C \end{matrix}

9

-cel való oszthatóság miatt

T - 1

jegyeinek összege is osztható

9

-cel. Mivel

7 + 2 + C + 7 + 2 + C = 18 + 2 C

, így

2 C

9

többszöröse. Ez csak a

C = 0

vagy a

C = 9

esetben lehetséges, de

T - 1 4

-gyel is osztható, tehát

C

páros. Ha

C = 0

, akkor valamennyi feltétel teljesül, azaz

T = 720 721

Megjegyzés. Másképpen is befejezhető a megoldás. Abból, hogy

T - 1

osztható a felsorolt számokkal, következik, hogy osztható ezek legkisebb közös többszörösével, tehát

36 036

-tal is. Másrészt

700 020 \leq T \leq 799 929

,
ezért

700 019 \leq T - 1 \leq 799 928

, innen

\begin{matrix} 19 < \frac{700 019}{36 036} \leq \frac{T - 1}{36 036} \leq \frac{799 928}{36 036} < 23. \end{matrix}

Így

\frac{T - 1}{36 036}

értéke

20

21

vagy

22

\begin{matrix} 20 \cdot 36 036 + 1 = 720 721 \\ 21 \cdot 36 036 + 1 = 756 757 \\ 22 \cdot 36 036 + 1 = 792 793 \end{matrix}

Az ötödik számjegy csak az első esetben

2

, vagyis a keresett telefonszám

720 721

. (Sz. Cs.)